Question

[Huyền Trang]

Cho 3 số thực a,b,c thỏa mãn \(a\ge1\);\(b\ge4\);\(c\ge9\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

  \(P=\frac{bc\sqrt{a-1}+ca\sqrt{b-4}+ab\sqrt{c-9}}{abc}\)

Answer 1

[Kiệt Nguyễn]

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được: \(P=\frac{bc\sqrt{a-1}+ca\sqrt{b-4}+ab\sqrt{c-9}}{abc}\)\(=\frac{bc\sqrt{\left(a-1\right).1}+\frac{1}{2}ca\sqrt{4.\left(b-4\right)}+\frac{1}{3}ab\sqrt{9.\left(c-9\right)}}{abc}\)\(\le\frac{bc.\frac{\left(a-1\right)+1}{2}+\frac{1}{2}ca.\frac{4+\left(b-4\right)}{2}+\frac{1}{3}ab.\frac{9+\left(c-9\right)}{2}}{abc}\)\(=\frac{\frac{1}{2}abc+\frac{1}{4}abc+\frac{1}{6}abc}{abc}=\frac{\frac{11}{12}abc}{abc}=\frac{11}{12}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = 2; b = 8; c = 18