Với \(p=2\) không thỏa mãn, xét với \(p>2\):

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{p+1}{2}=m^2\\\dfrac{p^2+1}{2}=n^2\end{matrix}\right.\) với m; n là các số nguyên dương và \(n>m\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}p=2m^2-1\\p^2=2n^2-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow p^2-p=2n^2-2m^2\)

\(\Rightarrow p\left(p-1\right)=2\left(n-m\right)\left(n+m\right)\) (1)

Nếu \(p\le n\Rightarrow n^2+1\ge p^2+1=2n^2\Rightarrow n^2\le1\Rightarrow n=1\Rightarrow p=1\) (ktm)

\(\Rightarrow p>n>m\)

\(\Rightarrow n-m< p\) và \(n+m< 2p\) (2)

Từ (1) \(\Rightarrow2\left(n-m\right)\left(n+m\right)⋮p\), mà \(\left\{{}\begin{matrix}2⋮̸p\\n-m⋮̸p\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow n+m⋮p\) (3)

(2);(3) \(\Rightarrow n+m=p\)

Thay vào \(p^2+1=2n^2=2\left(p-m\right)^2\)

\(\Rightarrow p^2-4mp+2m^2-1=0\)

\(\Rightarrow p^2-4mp+p=0\) (do \(2m^2-1=p\))

\(\Rightarrow p-4m+1=0\)

\(\Rightarrow2m^2-4m=0\) (do \(p+1=2m^2\))

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\left(loại\right)\\m=2\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow p=2m^2-1=7\)

\(\Rightarrow p^2-1=49-1=48⋮48\)

Đề bài sai, \(p^2+1\) không chia hết cho 3 với mọi p

\(\Rightarrow p^2+1\) không thể chia hết 48 với mọi p

Chiều rộng: x (m)  (x>0)

=> Chiều dài: 3x (m)

=> Diện tích ban đầu: x. 3x= 3x² (m²)

Tăng chiều dài và chiều rộng mỗi bên 5m, diện tích mới là: (x+5). (3x+5)= 3x²+20x+25 (m²)

Diện tích mới tăng 385m² so với diện tích ban đầu:

=> 3x²+20x+25 - 385 = 3x²

<=> 20x= 360

<=>x=18 (TM)

Vậy: Miếng đất HCN có chiều rộng 18m và chiều dài 54m

1. They look at the mouth of the speaker

2. Because they can't hear their own voices

3. Yes, it is

4. They are made with signs, which are formed with movements of the hands, face and body

5. The sign combine to form a rich language that can express the same thoughts, feelings and ideas as spoken language

6. Yes, it does

hoctot

a.

\(\dfrac{x-ab}{a+b}+\dfrac{x-bc}{b+c}+\dfrac{x-ca}{c+a}>a+b+c\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x-ab}{a+b}-c+\dfrac{x-bc}{b+c}-a+\dfrac{x-ac}{a+c}-b>0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x-ab-ac-bc}{a+b}+\dfrac{x-ab-ac-bc}{b+c}+\dfrac{c-ab-ac-bc}{a+c}>0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-ab-ac-bc\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)>0\)

\(\Leftrightarrow x-ab-ac-bc>0\)

\(\Rightarrow x>ab+ac+bc\)

b.

\(\dfrac{a+b-x}{c}+\dfrac{a+c-x}{b}+\dfrac{b+c-x}{a}< \dfrac{-3x}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b-x}{c}+1+\dfrac{a+c-x}{b}+1+\dfrac{b+c-x}{a}+1< \dfrac{-3x}{a+b+c}+3\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b+c-x}{c}+\dfrac{a+b+c-x}{b}+\dfrac{a+b+c-x}{a}< \dfrac{3\left(a+b+c-x\right)}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c-x\right)\left(\dfrac{3}{a+b+c}-\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}\right)>0\) (1)

Do \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\Rightarrow\dfrac{3}{a+b+c}-\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}< 0\)

Do đó (1) \(\Leftrightarrow a+b+c-x< 0\)

\(\Rightarrow x>a+b+c\)

8a.

BPT $\Leftrightarrow (\frac{x-ab}{a+b}-c)+(\frac{x-ac}{a+c}-b)+(\frac{x-bc}{b+c}-a)>0$

$\Leftrightarrow \frac{x-(ab+bc+ac)}{a+b}+\frac{x-(ab+bc+ac)}{a+c}+\frac{x-(ab+bc+ac)}{b+c}>0$

$\Leftrightarrow [x-(ab+bc+ac)](\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c})>0$
$\Leftrightarrow x-(ab+bc+ac)>0$ (do $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}>0$ với $a,b,c$ dương)

$\Leftrightarrow x> ab+bc+ac$

7a. 

BPT $\Leftrightarrow \frac{x+1987}{2002}-1+\frac{x+1988}{2003}-1> \frac{x+1989}{2004}-1+\frac{x+1990}{2005}-1$
$\Leftrightarrow \frac{x-15}{2002}+\frac{x-15}{2003}> \frac{x-15}{2004}+\frac{x-15}{2005}$

$\Leftrightarrow (x-15)(\frac{1}{2002}+\frac{1}{2003}-\frac{1}{2004}-\frac{1}{2005})>0$

Dễ thấy: $\frac{1}{2002}+\frac{1}{2003}-\frac{1}{2004}-\frac{1}{2005}> 0$

Do đó BPT $\Leftrightarrow x-15>0$

$\Leftrightarrow x>15$

7b. 

BPT $\Leftrightarrow (\frac{x-1}{99}-1)+(\frac{x-3}{97}-1)+(\frac{x-5}{95}-1)< (\frac{x-2}{98}-1)+(\frac{x-4}{96}-1)+(\frac{x-6}{94}-1)$

$\Leftrightarrow \frac{x-100}{99}+\frac{x-100}{97}+\frac{x-100}{95}< \frac{x-100}{98}+\frac{x-100}{96}+\frac{x-100}{94}$

$\Leftrightarrow (x-100)(\frac{1}{99}+\frac{1}{97}+\frac{1}{95}-\frac{1}{98}-\frac{1}{96}-\frac{1}{94})<0$

Dễ thấy $\frac{1}{99}+\frac{1}{97}+\frac{1}{95}-\frac{1}{98}-\frac{1}{96}-\frac{1}{94}<0$

Do đó BPT $\Leftrightarrow x-100>0$
$\Leftrightarrow x> 100$

Lời giải:
PT $\Leftrightarrow (x+\frac{1}{y})^2-\frac{2x}{y}=x+\frac{1}{y}=3-\frac{x}{y}$

Đặt $x=a; \frac{1}{y}=b$ thì:

$(a+b)^2-2ab=a+b=3-ab$

$\Rightarrow 2(3-ab)-(a+b)=(a+b)^2-2ab$

$\Leftrightarrow 6-(a+b)=(a+b)^2$

$\Leftrightarrow (a+b)^2+(a+b)-6=0$

$\Leftrightarrow (a+b+3)(a+b-2)=0$

$\Rightarrow a+b=-3$ hoặc $a+b=2$

Nếu $a+b=-3$ thì:

$9-3ab=-3=3-ab\Rightarrow ab=4=6$ (vô lý)

Nếu $a+b=2$ thì:

$4-2ab=2=3-ab\Rightarrow ab=1$

Thay $a=2-b$ vào thì: $(2-b)b=1$

$\Leftrightarrow b^2-2b+1=0\Leftrightarrow (b-1)^2=0$

$\Leftrightarrow b=1$

$\Rightarrow a=2-b=1$

Vậy $(a,b)=(1,1)\Leftrightarrow (x,y)=(1,1)$

tại sao lại có được như hàng thứ 5 vậy