Giải:

B = \(\frac12\) + \(\frac16\) + \(\frac{1}{12}\) + \(\frac{1}{20}\) + \(\frac{1}{30}\) + \(\frac{1}{42}\) + \(\frac{1}{56}\) + \(\frac{1}{72}\) + \(\frac{1}{90}\)

B = \(\frac{1}{1.2}\) + \(\frac{1}{2.3}\) + \(\frac{1}{3.4}\) + \(\frac{1}{4.5}\) + \(\frac{1}{5.6}+\frac{1}{6.7}+\frac{1}{7.8}+\frac{1}{8.9}+\frac{1}{9.10}\)

B = \(\frac11-\frac12+\frac12-\frac13+\frac13-\frac14+\cdots+\frac19-\frac{1}{10}\)

B = \(\frac11\) - \(\frac{1}{10}\)

B = \(\frac{9}{10}\)

B = \(\frac13\) + \(\frac{1}{15}\) + \(\frac{1}{35}\) + ... + \(\frac{1}{97.99}\)

B = \(\frac{1}{1.3}\) + \(\frac{1}{3.5}\) + \(\frac{1}{5.7}\) + ... + \(\frac{1}{97.99}\)

B = \(\frac12.\left(\frac{2}{3.5}+\frac{2}{5.7}+\cdots+\frac{2}{97.99}\right)\)

B = \(\frac12\).(\(\frac13-\frac15+\frac15-\frac17+\cdots+\frac{1}{97}-\frac{1}{99})\)

B = \(\frac12\left(\frac13-\frac{1}{99}\right)\)

B = \(\frac12\frac{.32}{99}\)

B = \(\frac{16}{99}\)

B = \(\frac{1}{3}\) + \(\frac{1}{15}\) + \(\frac{1}{35}\) + ... + \(\frac{1}{97.99}\)

B = \(\frac{1}{1.3}\) + \(\frac{1}{3.5}\) + \(\frac{1}{5.7}\) + ... + \(\frac{1}{97.99}\)

B = \(\frac{1}{2} . \left(\right. \frac{2}{3.5} + \frac{2}{5.7} + \hdots + \frac{2}{97.99} \left.\right)\)

B = \(\frac{1}{2}\).(\(\frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \hdots + \frac{1}{97} - \frac{1}{99} \left.\right)\)

B = \(\frac{1}{2} \left(\right. \frac{1}{3} - \frac{1}{99} \left.\right)\)

B = \(\frac{1}{2} \frac{. 32}{99}\)

B = \(\frac{16}{99}\)

x+1=\(\frac54:\frac14\)

x+1=5

x=5-1

x=4

x+1=\(\frac{5}{4} : \frac{1}{4}\)

x+1=5

x=5-1

x=4

Các bộ ba điểm thẳng hàng trong hình trên lần lượt là:

(A; C; E); (A; C; G); (A; E; G); (C:E;G); (B: D; F;); (B; D; G); (B; F; G); (D; F; G)

Vậy có tất cả 8 bộ ba điểm thẳng hàng.

Cách hai:

Ta có: Do 4 điểm A; C; E; G thẳng hàng nên:

Cứ 3 điểm thẳng hàng thì tạo thành một bộ ba điểm thẳng hàng.

Vậy có 4 cách chọn điểm thứ nhất, 3 cách chọn điểm thứ hai, 2 cách chọn điểm thứ ba. Số bộ ba điểm thẳng hàng là:

4 x 3 x 2 = 24 (bộ)

Theo cách tính trên mỗi bộ được tính 6 lần vậy thực tế số bộ ba điểm thẳng hàng là: 24 : 6 = 4 (bộ)

Chứng minh tương tự xét 4 điểm thằng hàng: B; D; F; G ta có số bộ ba điểm thẳng hàng là: 4 bộ

Tất cả số bộ ba điểm thẳng hàng là:

4 + 4 = 8 (bộ)

Kết luận: Tất cả có 8 bộ ba điểm thẳng hàng.

Tìm \(x;y\) nguyên sao cho: \(xy+x+y=9\)

Giải:

\(xy+x+y\) = 9

(\(xy\) + \(x\)) = 9 - y

\(x\)(\(y\) + 1) = 9 - y

\(x=\frac{9-y}{y+1}\)

\(x\) nguyên khi và chỉ khi

(9 - y) ⋮ (y + 1)

[10 - (y + 1)] ⋮ (y + 1)

10 ⋮ (y + 1)

y + 1 ∈ Ư(10) = {-10; -5; -2; -1; 1; 2; 5; 10}

Lập bảng ta có:

Theo bảng trên ta có các cặp số \(x;y\) nguyên thỏa mãn đề bài là:

(\(x;y\)) = (-2; -11); (-3; -6);(-6; -3); (-11; -2); (9;0);(4; 1);(1; 4);(0;9)

xy + x + y = 9

xy + x + y + 1 = 9 + 1

(xy + x) + (y + 1) = 10

x(y + 1) + (y + 1) = 10

(x + 1)(y + 1) = 10

* TH1: x + 1 = -10; y + 1 = -1

+) x + 1 = -10

x = -10 - 1

x = -11

+) y + 1 = -1

y = -1 - 1

y = -2

*) TH2: x + 1 = -1; y + 1 = -10

+) x + 1 = -1

x = -1 - 1

x = -2

+) y + 1 = -10

y = -10 - 1

y = -11

*) TH3: x + 1 = -5; y + 1 = -2

+) x + 1 = -5

x = -5 - 1

x = -6

y + 1 = -2

y = -2 - 1

y = -3

*) TH4: x + 1 = -2; y + 1 = -5

+) x + 1 = -2

x = -2 - 1

x = -3

+) y + 1 = -5

y = -5 - 1

y = -6

*) TH5: x + 1 = 1; y + 1 = 10

+) x + 1 = 1

x = 0

+) y + 1 = 10

y = 10 - 1

y = 9

*) TH6: x + 1 = 2; y + 1 = 5

+) x + 1 = 2

x = 2 - 1

x = 1

+) y + 1 = 5

y = 5 - 1

y = 4

*) TH7: x + 1 = 5; y + 1 = 2

+) x + 1 = 5

x = 5 - 1

x = 4

+) y + 1 = 2

y = 2 - 1

y = 1

*) TH8: x + 1 = 10; y + 1 = 1

+) x + 1 = 10

x = 10 - 1

x = 9

+) y + 1 = 1

y = 1 - 1

y = 0

Vậy ta được các cặp giá trị (x; y) thỏa mãn yêu cầu đề bài:

(-11; -2); (-6; -3); (-3; -6); (-2; -11); (0; 9); (1; 4); (4; 1); (9; 0)

Sửa đề :`M = 1+ 5 + 5^2 + ... + 5^100 = (5^x - 1)/y`

Đặt `A = 1 + 5 + 5^2 + ... + 5^100`

`=> 5A  = 5 + 5^2 + 5^3 +... +5^101`

`=> 5A - A = (5 + 5^2 + 5^3 +... +5^101) - (1 + 5 + 5^2 + ... + 5^100)`

`=> 4A = 5^101 - 1`

`=> A = (5^101-1)/4`

`=> M = (5^101 -1)/4 - (5^x -1)/y`

`=> x = 101` và `y = 4`

`=> x -y = 101 - 4 = 97`

Vậy ...

\(M=1+5+5^2+5^3+\ldots+5^{100}\)

\(5M=5+5^2+5^3+5^4+\cdots+5^{101}\)

\(5M-M=\left(5+5^2+5^3+\cdots+5^{101}\right)-\left(1+5+5^2+5^{100}\right)\)

\(4M=5^{101}-1\)

\(M=\frac{5^{101}-1}{4}\)

Thay x, y vào M, ta có: \(x=5^{100};y=4\)

Vậy \(x-y=5^{100}-4\)

Gọi số nguyên đó là x
Theo đề bài ta có:
18 : x dư 5

=> x có dạng: x= 18k + 5
Mà 18k ⋮ 3; 5 : 3 dư 2
Nên 18k + 5 : 3 dư 2
Vậy số nguyên đó chia 3 dư 2.