A B C D M O E

a/ Goi E là trung điểm của MC

Từ gt \(AM=\dfrac{1}{2}MC\Rightarrow AM=ME=EC\)

Xét tg BCM có

ME=EC (cmt); DB=DC (gt) => DE là đường trung bình của tg BCM

=> DE//BM 

Xét tg ADE có

AM=ME (cmt)

BM//DE (cmt) =>OM//DE

=> OA=OD (trong tg đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh và // với 1 cạnh thì đi qua trung điểm cạnh còn lại)

b/

Ta có DE là đường trung bình của tg BCM \(\Rightarrow DE=\dfrac{1}{2}BM\)

Xét tg ADE có

OA=OD (cmt); AM=ME (cmt) => OM là đường trung bình của tg ADE

\(\Rightarrow OM=\dfrac{1}{2}DE=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}BM=\dfrac{1}{4}BM\)

a) Qua $D$ vẽ một đường thẳng song song với $BM$ cắt $AC$ tại $N$.

Xét $\Delta MBC$ có $DB=DC$ và $DN$ // $BM$ nên ��=��=12��MN=NC=21​MC (định lí đường trung bình của tam giác).

Mặt khác ��=12��AM=21​MC, do đó ��=��=12��AM=MN=21​MC.

Xét $\Delta AND$ có $AM=MN$ và $BM$ // $DN$ nên $OA=OD$ hay $O$ là trung điểm của $AD$.

b) Xét $\Delta AND$ có $OM$ là đường trung bình nên ��=12��OM=21​DN. (1)

Xét $\Delta MBC$ có $DN$ là đường trung bình nên ��=12��DN=21​BM. (2)

Từ (1) và (2) suy ra ��=14��OM=41​BM.

Gọi K là trung điểm của CD

a: Xét ΔBDC có 

M là trung điểm của BC

K là trung điểm của CD

Do đó: MK là đường trung bình

=>MK//BD

hay ID//MK

Xét ΔAMK có 

I là trung điểm của AM

ID//MK

Do đó: D là trung điểm của AK

=>AD=DK=KC

=>AD=1/2DC

b: Xét ΔAMK có 

I là trung điểm của AM

D là trung điểm của AK

Do đó: ID là đường trung bình

=>ID=MK/2

hay MK=2ID

Ta có: MK là đường trung bình của ΔBDC

nên MK=BD/2

=>BD/2=2ID

hay BD=4ID

Đúng thầy cho em like nhé !

a) Kẻ $MN$ // $BD$, $N\in AC$.

$MN$ là đường trung bình trong $△CBD$

Suy ra $N$ là trung điểm của $CD$ (1).

$IN$ là đường trung bình trong $△AMN$

Suy ra $D$ là trung điểm của $AN$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra ��=12��AD=21​DC.

b) Có ��=12��ID=21​MN; ��=12��MN=21​BD, nên $BD=ID$.

Ta có

\(BC\perp AB';B'C'\perp AB'\) => BC//B'C'

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AB'}=\dfrac{BC}{B'C'}\Rightarrow\dfrac{x}{x+h}=\dfrac{a}{a'}\)

\(\Rightarrow a'x=ax+ah\Rightarrow x\left(a'-a\right)=ah\Rightarrow x=\dfrac{ah}{a'-a}\left(dpcm\right)\)

Xét tam giác $ABC$ có BC⊥ AB′BC⊥ AB′ và B′C′⊥AB′B′C′⊥AB′ nên suy ra $BC$ // B′C′B′C′.

Theo hệ quả định lí Thalès, ta có: ABAB′ =BCBC′AB′AB​ =BC′BC​

Suy ra xx+h =aa′x+hx​ =a′a​

a′.x=a(x+h)a′.x=a(x+h)

a′.x−ax=aha′.x−ax=ah

x(a′−a)=ahx(a′−a)=ah

x=aha′ −ax=a′ −aah​.

$ABCD$ là hình thang suy ra $AB$ // $CD$.

Áp dụng hệ quả định lí Thalès, ta có: OAOC =OBODOCOA​ =ODOB​

Suy ra $OA.OD=OB.OC$ (đpcm).

Trong tam giác $ADB$, ta có: $MN$ // $AB$ (gt)

Suy ra DNDB =MNABDBDN​ =ABMN​ (hệ quả định lí Thalès) (1)

Trong tam giác $ACB$, ta có: $PQ$ // $AB$ (gt)

Suy ra CQCB =PQABCBCQ​ =ABPQ​ (hệ quả định lí Thalès) (2)

Lại có: $NQ$ // $AB$ (gt); $AB$ // $CD$ (gt)

Suy ra $NQ$ // $CD$

Trong tam giác $BDC$, ta có: $NQ$ // $CD$ (chứng minh trên)

Suy ra DNDB =CQCBDBDN​ =CBCQ​ (định lí Thalès) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra MNAB =PQAB hayABMN​ =ABPQ​ hayMN = PQ$ (đpcm).

Lời giải:

a. $3x^2-9x=3x(x-3)$

b. $4x^2+7y-4xy-7x=(4x^2-4xy)-(7x-7y)=4x(x-y)-7(x-y)=(x-y)(4x-7)$

Lời giải:
$x^2+x-12=0$

$\Leftrightarrow (x^2-3x)+(4x-12)=0$

$\Leftrightarrow x(x-3)+4(x-3)=0$

$\Leftrightarrow (x-3)(x+4)=0$

$\Leftrightarrow x-3=0$ hoặc $x+4=0$

$\Leftrightarrow x=3$ hoặc $x=-4$

Khi đó, $AD$ là đường trung tuyến của tam giác $ABC$.

Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên điểm $G$ nằm trên cạnh $AD$.

Ta có AGAD=23ADAG​=32​ hay AG=23ADAG=32​AD.

Vì $MG$ // $AB$, theo định lí Thalès, ta suy ra: AGAD=BMBD=23ADAG​=BDBM​=32​.

Ta có $BD=CD$ (vì $D$ là trung điểm của cạnh $BC$) nên BMBC=BM2BD=22.3=13BCBM​=2BDBM​=2.32​=31​.

Do đó BM=13BCBM=31​BC (đpcm).