Sửa lại đề nha: abc = 1

\(\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\le1\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+1\right)\left(b+c+1\right)+\left(b+c+1\right)\left(c+a+1\right)\)\(+\left(c+a+1\right)\left(a+b+1\right)\)

    \(\le\left(a+b+1\right)\left(b+c+1\right)\left(c+a+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)+a+b+b+c+1\)\(+\left(b+c\right)\left(c+a\right)+b+c+c+a+1\)
      \(+\left(c+a\right)\left(a+b\right)+c+a+a+b+1\)

\(\le\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)+\left(a+b\right)\left(b+c\right)+\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)  \(+\left(c+a\right)\left(a+b\right)+a+b+b+c+c+a+1\)

\(\Leftrightarrow2+2\left(a+b+c\right)\le\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

 \(\Leftrightarrow2+2\left(a+b+c\right)\le\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)

\(\Leftrightarrow3\le\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca-2\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm:\(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca-2\right)\ge3.\sqrt[3]{a.b.c}.\left[3.\sqrt[3]{ab.bc.ca}-2\right]=3\)

\(\Rightarrow\)đpcm
Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

M = \(\left(\frac{x}{x-3}-\frac{x+3}{3x^2-6x-9}+\frac{1}{3x+3}\right)\)\(\frac{x^2-2x-3}{x^2+x+2}\)

= \(\left(\frac{x\left(3x+3\right)}{3\left(x-3\right)\left(x+1\right)}-\frac{x+3}{3\left(x-3\right)\left(x+1\right)}+\frac{x-3}{3\left(x+1\right)\left(x-3\right)}\right)\)\(\frac{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}{x^2+x+2}\)

=  \(\frac{3\left(x^2+x-2\right)}{3\left(x-3\right)\left(x+1\right)}\)*  \(\frac{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}{x^2+x+2}\)  = \(\frac{x^2+x-2}{x^2+x+2}\)

Ta thấy   x² + x - 2  <   x² + x + 2

nên M < 1

Đặt \(B=xy=2013-A\) thế vô cái cần tìm thì được

\(5x^2+\frac{y^2}{4}+\frac{1}{4x^2}=\frac{5}{2}\)

\(\Leftrightarrow x^2y^2+20x^4-10x^2+1=0\)

\(\Leftrightarrow20x^4-10x^2+1+B^2=0\)

\(\Leftrightarrow B^2=\frac{1}{4}-\left(\sqrt{20}x^2-\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2\le\frac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow-\frac{1}{2}\le B\le\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow-\frac{1}{2}\le2013-A\le\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow2012,3\le A\le2013,5\)

bạn chưa ghi gtnn , gtln xảy ra khi x=? và y=?

x⁴+4 

=x⁴ + 4x² + 4 - 4x² 
=(x²+2)²-(2x)²
=(x²+2-2x)(x²+2+2x)

x⁴ + 4

= x⁴ + 4x² + 4 - 4x²

= (x² + 2)² - (2x)²

= (x² + 2 - 2x)(x² + 2 + 2x)

a/ Ta có: O là giao điểm 2 đường chéo (gt) => O là trung điểm của  AC và BD => BO = OD

Xét tg DOM và tg BON ta có: BO = OD (cmt); \(\widehat{DOM}=\widehat{BON}\) ( đối đỉnh); \(\widehat{ODM}=\widehat{OBN}\)( so le trong)

=> tg DOM = tg BON (g.c.g) =>> DM = BN

b/  Ta có: AD // BC (vì ABCD là hình vuông) ma M \(\in\)AD va N \(\in\) BC

=> MD // BN mà MD = BN (cmt) =>. Tứ giác BMDN là hình bình hành

Áp dụng bđt \(\frac{a}{b+c+d}\le\frac{1}{9}\left(\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{a}{d}\right)\) ta có :

\(\frac{xy}{2x+y}\le\frac{1}{9}\left(\frac{xy}{x}+\frac{xy}{x}+\frac{xy}{y}\right)=\frac{1}{9}\left(2y+x\right)\)

\(\frac{3yz}{2y+z}\le3.\frac{1}{9}\left(\frac{yz}{y}+\frac{yz}{y}+\frac{yz}{z}\right)=\frac{1}{3}\left(2z+y\right)\)

\(\frac{6xz}{2z+x}\le6.\frac{1}{9}\left(\frac{xz}{z}+\frac{xz}{z}+\frac{xz}{x}\right)=\frac{2}{3}\left(2x+z\right)\)

\(\Rightarrow M\le\frac{1}{9}\left(2y+z\right)+\frac{1}{3}\left(2z+y\right)+\frac{2}{3}\left(2x+z\right)=\frac{13}{9}x+\frac{5}{9}y+\frac{12}{9}z\)

\(=\frac{1}{9}\left(13x+5y+12z\right)=\frac{1}{9}.9=1\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{3}{10}\)

bạn ơi hình như tìm min

Áp dụng 2 bđt đó là : 1/a+1/b+1/c >= 9/a+b+c và ab+bc+ca <= a^2+b^2+c^2

A >= 9/6+xy+yz+zx >= 9/6+x^2+y^2+z^2 = 9/6+3 = 2

Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1

Vậy Min A = 1 <=> x=y=z=1

k mk nha