Đổi \(8h20'=8\frac{1}{3}h\)

Gọi khoảng cách từ nhà An tới nhà Bình là x (km, x > 0)

Khi Bình bắt đầu đi thì An đã đi được số ki-lô-mét là:  \(\left(8\frac{1}{3}-8\right).4=\frac{4}{3}\left(km\right)\)

Tổng vận tốc của hai bạn là : 4 + 3 = 7 (km)

Thời gian để hai bạn gặp nhau kể từ khi Bình đi là:  \(\frac{x-\frac{4}{3}}{7}=\frac{3x-4}{21}\left(h\right)\)

Khi đó quãng đường Bình đi được là: \(3.\frac{3x-4}{21}=\frac{3x-4}{7}\left(km\right)\)

Sau khi hai bạn gặp nhau thì lại quay về nhà Bình nên quãng đường Bình đi là: \(\frac{3x-4}{7}.2=\frac{6x-8}{7}\left(km\right)\)

An đi tới nhà Bình rồi quay lại nhà mình nên quãng đường An đi bằng 2 lần khoảng cách giữa nhà hai bạn và bằng 2x (km)

Theo bài ra ta có phương trình:

\(2x=4.\left(\frac{6x-8}{7}\right)\)

\(\Leftrightarrow14x=24x-32\Leftrightarrow x=3,2\left(km\right)\)  (tmđk)

Vậy khoảng cách từ nhà An tới nhà Bình là 3,2 km.

Đổi   \(\text{8h20}'\)= \(\frac{25}{3}\) h

Lúc 8h20', quãng đường An đi được là:

\(4.\left(\frac{25}{3}-8\right)=\frac{4}{3}\) (km)

Gọi thời gian An và Bình gặp nhau kể từ lúc Bình xuất phát là x (h)

=> Quãng đường An đi tới điểm gặp nhau kể từ lúc Bình xuất phát là: 4x (km)

Quãng đường Bình đi tới điểm gặp nhau là 3x (km)

=> Quãng đường từ nhà An đến nhà Bình là:

\(\frac{4}{3}+4x+3x=\frac{4}{3}+7x\)(km)

Theo đề, ta thấy quãng đường An đi bằng 2 lần quãng đường từ nhà An đến nhà Bình và quãng đường Bình đi bằng 2 lần quãng đường Bình đi tới điểm gặp nhau.

=> Ta có phương trình:

\(\frac{2\left(\frac{4}{3}+7x\right)}{2.3.x}=4\)

⇔\(\frac{\frac{4}{3}+7x}{6x}=4\)

⇔\(\frac{4}{3}+7x=12x\)

⇔\(12x-7x=\frac{4}{3}\)

⇔\(5x=\frac{4}{3}\)

⇔\(x=\frac{4}{15}\) (h)

=> Quãng đường từ nhà An đến nhà Bình dài:

\(\frac{4}{3}+7\text{×}\frac{4}{15}=3,2\) (km)

Vậy quãng đường từ nhà An đến nhà Bình dài \(\text{3,2}\) km.

Bài nì hay nek,khi mô có lời giải up vs

Ta có:

\(n^3+n+2=n^3+1+n+1\)

                         \(=\left(n+1\right)\left(n^2-n+1\right)+\left(n+1\right)\)

                          \(=\left(n+1\right)\left(n^2-n+2\right)\)

Do  \(\forall\in n\)  nên  \(n+1>1\)  và \(n^2-n+2>1\)

Vậy  \(n^3+n+2\)   là hợp số.

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Theo tính chất hình bình hành thì O là trung điểm AC và BD.

Gọi H, I, J, L lần lượt là chân các đường cao hạ từ D, O, C, B xuống đường thẳng xy.

Ta thấy ngay DH // OI // CJ // KB.

Xét tam giác ACJ có O là trung điểm AC, OI // CJ nên OI là đường trung bình tam giác hay CJ = 2OI.    (1)

Xét hình thang vuông HDBK có O là trung điểm BD, OI // DH // BK nên OI là đường trung bình hình thang.

Vậy thì \(DH+BK=2OI\)                                                                                                                  (2)

Từ (1) và (2) suy ra CJ = DH + BK.

Suy ra \(\frac{1}{2}CJ.AE=\frac{1}{2}HD.AE+\frac{1}{2}BK.AE\)  hay \(S_{ACE}=S_{ADE}+S_{ABE}\)

1

Ta có do \(K\in CD;CD//AB\Rightarrow\widehat{K1}=\widehat{A2}\)

Mà \(\widehat{A2}=\widehat{A1}\)(AK LÀ PHÂN GIÁC)

\(\Rightarrow\widehat{K1}=\widehat{A1}\Rightarrow\Delta ADK\)cân tại D => AD=DK

Tương tự ta cm được BC=CK 

=> AD+BC=DK+CK

Mà K nằm giữa C và D nên AD+BC=DK+CK=DC(đpcm)

a,\(x\left(x+1\right)\left(x^2+x+2\right)\)

\(=\left(x^2+x\right)\left(x^2+x+2\right)\)

ĐẶT X^2+X=A\(\Rightarrow\left(x^2+x\right)\left(x^2+x+2\right)=a\left(a+2\right)=42\)

\(\Rightarrow a=\pm1,\pm2,\pm3,\pm6,\pm7,\pm42\)

SUY RA TÌM ĐC X

b,

a) \(x\left(x+1\right)\left(x^2+x-2\right)=48\Leftrightarrow\left(x^2+x\right)\left(x^2+x-2\right)=48\)

Đặt \(x^2+x=t\Rightarrow t\left(t-2\right)=48\Leftrightarrow t^2-2t-48=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-8\\x=6\end{cases}}\)

Với x = -8, ta có: \(x^2+x=-8\Leftrightarrow x^2+x+8=0\) (Vô nghiệm)

Với x = 6, ta có: \(x^2+x=6\Leftrightarrow x^2+x-6=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\\x=-3\end{cases}}\)

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S=\left\{-3;2\right\}\)

b) \(\left(x-1\right)^3+\left(2x+3\right)^3=27x^3+8\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1+2x+3\right)\left[\left(x-1\right)^2-\left(x-1\right)\left(2x+3\right)+\left(2x+3\right)^2\right]=\left(3x+2\right)\left(9x^2-6x+4\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(3x+2\right)\left(3x^2+9x+13\right)=\left(3x+2\right)\left(9x^2-6x+4\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(3x+2\right)\left(3x^2+9x+13-9x^2+6x-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3x+2\right)\left(-6x^2+15x+9\right)=0\)

TH1: \(3x+2=0\Leftrightarrow x=-\frac{2}{3}\)

TH2: \(-6x^2+15x+9=0\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(-6x-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=3\\x=-\frac{1}{2}\end{cases}}\)

Quy đồng rồi phân tích nhân tử bình thường đi

\(\left(x-1\right)\left(x-ab-bc-ca\right)\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)=0\)

xét hai trường hợp:

nếu x>0 thì ta có phương trình :

3x - x=6

<=>x=3(thỏa mãn x>0) 

nếu x<0 ta cũng có phương trình:

-3x -x = 6

<=> x=\(-\frac{3}{2}\)(thỏa mãn x<0>

Tập nghiệm của phương trình là : \(S=\left(3;\frac{-3}{2}\right)\)

| 3x | - x = 6

=> | 3x | > 0

x > 0

=> 3x > 0

=> | 3x | = 3x

=> 3x - x = 6

2x = 6

x = 6 : 2 

x = 3

dự đoán của chúa Pain a=b=c=1

ta có   \(ab^2\le\frac{\left(a+B^2\right)^2}{4}:bc^2\le\frac{\left(b+c^2\right)^2}{4}:ca^2\le\frac{\left(c+a^2\right)^2}{4}.\)

\(ab^2+bc^2+ca^2\le\frac{\left(a^2+2ab+b^2\right)+\left(b^2+2bc+c^2\right)+\left(c^2+2ac+c^2\right)}{4}\)

\(ab^2+bc^2+ca^2\le\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\)

ta có  \(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\left(cosi\right)\Leftrightarrow ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2=3\)luôn đúng 

thay số ta được \(ab^2+bc^2+ca^2\le\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=3\)

\(ab^2+bc^2+ca^2-abc\le3-abc\)

có  \(abc\ge\frac{\left(a+b+c\right)^3}{27}..."-abc"\ge\rightarrow\le\) ( -abc dấu > thành dấu < cùng dấu thay vào được )

\(ab^2+bc^2+ca^2-abc\le3-\frac{\left(a+b+C\right)^3}{27}\)

ta có \(a^2+1\ge2a\left(cosi\right)\)

        \(b^2+1\ge2b\)

       \(c^2+1\ge2c\)

\(a^2+b^2+c^2+3\ge2\left(a+b+c\right)\)

có (a^2+b^2+c^2)=3 (gt)   \(\Rightarrow3+3\ge2\left(a+b+C\right)\Rightarrow3\ge a+b+C\Rightarrow-3\le-\left(a+b+c\right)\)

cùng dấu < thay vào ta được

\(ab^2+bc^2+ca^2-abc\le3-\frac{\left(3\right)^3}{27}=3-1=2\)

\(\Rightarrow ab^2+bc^2+ca^2-abc\le2\)

cho chúa Pain xin cái tính :)

Ta có \(x^4+x^2+1=\left(x^2+1\right)^2-x^2=\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+1\right)\)

Số dư của phép chia đa thức f(x) cho x⁴ + x² + 1 là đa thức có bậc thấp hơn, tức là \(ax^3+bx^2+cx+d\)

Ta có \(f\left(x\right)=\left(x^4+x^2+1\right)g\left(x\right)+ax^3+bx^2+cx+d\)

\(=\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+1\right)g\left(x\right)+\left(x^2+x+1\right)\left(ax+b-a\right)+\left(c-b\right)x+d+a-b\)

\(=\left(x^2+x+1\right)\left[\left(x^2-x+1\right)g\left(x\right)+ax+b-a\right]+\left(c-b\right)x+d+a-b\)

Vậy nên \(\hept{\begin{cases}c-b=-1\\d+a-b=1\end{cases}}\)

Ta cũng có:

\(f\left(x\right)=\left(x^4+x^2+1\right)g\left(x\right)+ax^3+bx^2+cx+d\)

\(=\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+x+1\right)g\left(x\right)+\left(x^2-x+1\right)\left(ax+b+a\right)+\left(c+b\right)x+d-a-b\)

Vậy nên \(\hept{\begin{cases}c+b=3\\d-a-b=5\end{cases}}\)

Từ (1) và (2) ta có: \(\hept{\begin{cases}c-b=-1\\c+b=3\end{cases}}\)  và \(\hept{\begin{cases}d-b+a=1\\d-b-a=5\end{cases}}\)

Vậy nên \(\hept{\begin{cases}c=1\\b=2\end{cases}}\) và \(\hept{\begin{cases}d-b=3\\a=-2\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}d=5\\a=-2\end{cases}}}\)

Vậy thì đa thức dư cần tìm là -2x³ + 2x² + x + 5

Phần (c-b)x sai phải là (c-b+a-ax)x