a: Xét ΔHBA vuông tại H và ΔHAC vuông tại H có

\(\widehat{HBA}=\widehat{HAC}\left(=90^0-\widehat{HAB}\right)\)

Do đó: ΔHBA~ΔHAC

=>\(\dfrac{HB}{HA}=\dfrac{HA}{HC}=\dfrac{BA}{AC}\)

=>\(\dfrac{2BP}{2AQ}=\dfrac{BA}{AC}\)

=>\(\dfrac{BP}{AQ}=\dfrac{BA}{AC}\)

Xét ΔABP và ΔCAQ có

\(\dfrac{AB}{CA}=\dfrac{BP}{AQ}\)

\(\widehat{ABP}=\widehat{CAQ}\left(=90^0-\widehat{ACB}\right)\)

Do đó: ΔABP~ΔCAQ

b: Xét ΔHAB có

Q,P lần lượt là trung điểm của HA,HB

=>QP là đường trung bình của ΔHAB

=>QP//AB

mà AB\(\perp\)AC

nên QP\(\perp\)AC

Xét ΔCAP có

PQ,AH là các đường cao

PQ cắt AH tại Q

Do đó: Q là trực tâm của ΔCAP

=>CQ\(\perp\)AP

Cách 1: Trong tg vuông cạnh đối diện góc \(30^o\) thì bằng nửa cạnh huyền

\(\Rightarrow AB=\dfrac{BC}{2}\Rightarrow BC=2AB\)

Cách 2:

Xét tg vuông ABC có

\(\widehat{B}=90^o-\widehat{C}=60^o\)

Xét tg vuông CEH và tg vuông BEH có

\(\widehat{C}=30^o\)

\(\widehat{EBH}=\dfrac{\widehat{B}}{2}=\dfrac{60^o}{2}=30^o\)

\(\Rightarrow\widehat{C}=\widehat{EBH}\)

EH chung

=> tg CEH = tg BEH (Hai tg vuông có cạnh góc vuông và góc nhọn tương ứng bằng nhau)

\(\Rightarrow CH=BH\)

Xét tg vuông BEH và tg vuông BAE có

\(\widehat{EBH}=\widehat{EBA}\) (gt)

BE chung

=> tg BEH = tg EBA (Hai tg vuông có cạnh huyền và góc nhọn tương ứng bằng nhau)

\(\Rightarrow AB=BH\)

Mà \(BH=CH=\dfrac{BC}{2}\)

\(\Rightarrow AB=\dfrac{BC}{2}\Rightarrow BC=2AB\)

\(A=x\left(x^2-y\right)-x^2\left(x+y\right)+y\left(x^2-x\right)\\ =x^3-xy-x^3-x^2y+x^2y-xy\\ =-2xy\)

Thay `x=1/2;y=-100` vào A ta có:

\(A=-2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\left(-100\right)=100\)

\(B=\left(x^2-5\right)\left(x+3\right)+\left(x+4\right)\left(x-x^2\right)\\=x^3+3x^2-5x-15-x^3+4x+x^2-4x^2\\ =\left(x^3-x^3\right)+\left(3x^2-4x^2+x^2\right)+\left(-5x+4x\right)-15\\ =-x-15\)

Gọi A là biến cố "Thẻ lấy ra ghi số là ước của 21"

=>A={1;3;7}

=>n(A)=3

\(\Omega=\left\{1;2;3;...;20\right\}\)

=>\(n\left(\Omega\right)=20\)

\(P_A=\dfrac{3}{20}\)

\(x\left(x-4\right)+5=x^2-4x+5\\ =x^2-4x+4+1\\ =x^2-2.2x+2^2+1\\ =\left(x-2\right)^2+1\)

Mà \(\left(x-2\right)^2\ge0\forall x\Rightarrow\left(x-2\right)^2+1>0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-4\right)+5>0\forall x\)

Ta có:

\(x\left(x-4\right)+5\\ =x^2-4x+5\\ =\left(x^2-4x+4\right)+1\\ =\left(x-2\right)^2+1\)

Ta có: `(x-2)^2>=0` với mọi x 

`=>(x-2)^2+1>=1>0` với mọi x 

Hay `x(x-4)+5` luôn lớn hơn không 

\(A=3x^2+8x+12\\ =3\left(x^2+\dfrac{8}{3}x+4\right)\\ =3\left[\left(x^2+2\cdot x\cdot\dfrac{4}{3}+\dfrac{16}{9}\right)+\dfrac{20}{9}\right]\\ =3\left(x+\dfrac{4}{3}\right)^2+\dfrac{20}{3}\)

Ta có: `3(x+4/3)^2>=0` với mọi x 

`=>A=3(x+4/3)^2+20/3>=20/3` với mọi x

Dấu "=" xảy ra `x+4/3=0<=>x=-4/3` 

\(M=x^2-4x+2y^2-4y+20\\ =\left(x^2-4x+4\right)+\left(2y^2-4y+2\right)+14\\ =\left(x^2-2\cdot x\cdot2+2^2\right)+2\left(y^2-2\cdot y\cdot1+1^2\right)+14\\ =\left(x-2\right)^2+2\left(y-1\right)^2+14\)

Ta có: 

`(x-2)^2>=0` với mọi x 

`2(y-1)^2>=0` với mọi y 

`=>M=(x-2)^2+2(y-1)^2+14>=14` với mọi x,y 

Dấu "=" xảy ra: `x-2=0` và `y-1=0`

`=>x=2` và `y=1`

\(B=5-x^2-8x\\ =\left(-x^2-8x-16\right)+21\\ =-\left(x^2+8x+16\right)+21\\ =-\left(x^2+2\cdot x\cdot4+4^2\right)+21\\ =-\left(x+4\right)^2+21\)

Ta có: `-(x+4)^2<=0` với mọi x 

`=>B=-(x+4)^2+21<=21` với mọi x 

Dấu "=" xảy ra: `x+4=0<=>x=-4` 

\(A=3x\left(x-y\right)-y\left(y-3x\right)\\ =3x^2-3xy-y^2+3xy\\ =3x^2-y^2\\ B=\left(x-y\right)\left(x^2+y^2\right)-\left(x^4y-xy^4\right):xy\\ =\left(x-y\right)\left(x^2+y^2\right)-\left(x^3-y^3\right)\\ =x^3+xy^2-x^2y-y^3-x^3+y^3\\ =xy^2-x^2y\)