\(BPT\Leftrightarrow\left(2+\sqrt{x^2-2x+5}\right)\left(x+1\right)+\frac{2x\left(3x^2+2x-1\right)}{2\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-2x+5}}\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(2+\sqrt{x^2-2x+5}\right)\left(x+1\right)+\frac{2x\left(x+1\right)\left(3x-1\right)}{2\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-2x+5}}\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\text{[}2+\sqrt{x^2-2x+5}+\frac{2x\left(3x-1\right)}{2\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-2x+5}}\text{]}\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(4\sqrt{x^2+1}+2\sqrt{x^2-2x+5}+2\sqrt{\left(x^2+1\right)\left(x^2-2x+5\right)}+7x^2-4x+5\right)\)\(\le0\Leftrightarrow x+1\le0\Leftrightarrow x\le-1\)

ĐKXĐ: \(x >=0 \)

Phương trình đã cho tương đương với: 
\(2x+2\sqrt{x^2+3x}+2\sqrt{x}+2\sqrt{x+3}=12\)

\(x+2\sqrt{x\left(x+3\right)}+x+3+2\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+3}\right)\)

\(\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+3}\right)^2+2\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+3}\right)-15=0\)
Đặt \(\sqrt{x}+\sqrt{x+3}=a\left(a>=0\right)\)
     Từ đó ta có: \(a^2+2a-15=0\)
      tự giải đi ha

Nghiệm \(x=1\)

1) Vì \(a,b>0\)\(\Rightarrow\)\(\sqrt{ab}>0\)

                          \(\Leftrightarrow\)\(2\sqrt{ab}>0\)

                          \(\Leftrightarrow\)\(a+b+2\sqrt{ab}>a+b\)

                          \(\Leftrightarrow\)\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2>a+b\)

                          \(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{a+b}\)

Vậy \(\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{a+b}\)

1. Ta có: \(\left(\sqrt{a+b}\right)^2=a+b\)

              \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2=a+2\sqrt{ab}+b\)

Vì \(a>0\), \(b>0\)\(\Rightarrow\sqrt{ab}>0\)\(\Rightarrow2\sqrt{ab}>0\)

\(\Rightarrow a+b< a+2\sqrt{ab}+b\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{a+b}\right)^2< \left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\)

mà \(\hept{\begin{cases}\sqrt{a+b}>0\\\sqrt{a}+\sqrt{b}>0\end{cases}}\)\(\Rightarrow\sqrt{a+b}< \sqrt{a}+\sqrt{b}\)( đpcm )

ĐKXĐ: \(-1\le x\le1\)

Xét \(\sqrt{\left(1+x\right)^3}-\sqrt{\left(1-x\right)^3}=\left(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}\right)\left[\left(1+x\right)+\left(1-x\right)+\sqrt{\left(1+x\right)\left(1-x\right)}\right]\)

\(=\left(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}\right)\left(2+\sqrt{1-x^2}\right)\)

Khi đó phương trình đề trở thành:

\(\sqrt{1+\sqrt{1-x}}\left(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}\right)\left(2+\sqrt{1-x^2}\right)=\frac{2+\sqrt{1-x^2}}{3}\)

Vì \(2+\sqrt{1-x^2}>0\)nên ta có thể chia 2 vế cho \(2+\sqrt{1-x^2}\):

\(\Rightarrow\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}\left(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}\),Bình phương 2 vế:

\(\Rightarrow\left(1+\sqrt{1-x^2}\right)\left[\left(1+x\right)+\left(1-x\right)-2\sqrt{\left(1+x\right)\left(1-x\right)}\right]=\frac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow\left(1+\sqrt{1-x^2}\right)\left(2-2\sqrt{1-x^2}\right)=\frac{1}{3}\Leftrightarrow2\left(1+\sqrt{1-x^2}\right)\left(1-\sqrt{1-x^2}\right)=\frac{1}{3}\)\(\Leftrightarrow1-\left(1-x^2\right)=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x^2=\frac{1}{6}\Leftrightarrow x=\pm\frac{1}{\sqrt{6}}\)

Ta xét phương trình đề: vế phải luôn không âm vì vậy vế trái phải không âm 

Khi đó \(\sqrt{\left(1+x\right)^3}-\sqrt{\left(1-x\right)^3}\ge0\Leftrightarrow1+x\ge1-x\Leftrightarrow x\ge0\)

Vậy ta chỉ nhận nghiệm duy nhất là \(x=\frac{1}{\sqrt{6}}\)

x² + 4y² + z² - 2x + 8y - 6z + 15

= ( x² - 2x + 1 ) + ( 4y² - 8y + 4 ) + ( z² - 6z + 9 ) + 1

= ( x - 1 )² + 4( y² - 2y + 1 ) + ( z - 3 )² + 1

= ( x - 1 ) + 4( y - 1 )² + ( z - 3 )² + 1 ≥ 1 > 0 ∀ x, y, z

Vậy không tồn tại giá trị x, y, z thỏa mãn đẳng thức x² + 4y² + z² - 2x + 8y - 6z + 15 ( đpcm )

\(ĐKXĐ:x\ge-1\)

Ta có : \(\sqrt{x+1}=32x^3+48x^2+18x+1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+1}-1=32x^3+48x^2+18x\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+1\right)-1^2}{\sqrt{x+1}+1}=2x.\left(16x^2+24x+9\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{\sqrt{x+1}+1}-2x\left(4x+3\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x.\left[\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}-2.\left(4x+3\right)^2\right]=0\) (*)

Với mọi \(x\inĐKXD\) thì \(2.\left(4x+3\right)^2>\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}\) nên từ (*) suy ra :

\(x=0\) ( Thỏa mãn ĐKXĐ )

Vậy pt có nghiệm duy nhất \(x=0\)

G/s : \(\sqrt{7}\)là số hữu tỉ , như vậy \(\sqrt{7}\)viết dưới dạng phân số tối giản m/n tức là \(\sqrt{7}=\frac{m}{n}\)

=> \(7=\frac{m^2}{n^2}\)hay 7n² = m² (1)

Đẳng thức (1) => m² \(⋮\)7 mà 7 là số nguyên tố => m \(⋮\)7

Đặt m = 7k ( k \(\inℤ\))

=> m² = (7k)² = 49k² (2)

Từ (1) và (2) => 7n² = 49k² => n² = 7k² ( vì chia cho 7) (3)

Từ (3) lại có : n² \(⋮\)7 và 7 là số nguyên tố => n \(⋮\)7

Do đó \(m⋮7,n⋮7\) mà phân số m/n không tối giản nên trái với giả thiết

=> \(\sqrt{7}\)không phải là số hữu tỉ mà là số vô tỉ