a) A(3;-5) ; B(1;0)

=> \(\overrightarrow{AB}\left(-2;5\right)\)

Gọi C(x;y) tọa độ cần tìm

khi đó \(\overrightarrow{OC}\left(x;y\right)\)

 \(\overrightarrow{OC}=-3\overrightarrow{AB}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-3.\left(-2\right)=6\\y=-3.5=-15\end{matrix}\right.\)

Vậy C(6;-15)

b) D đối xứng với A qua C

=> C trung điểm AD

Gọi D(x₁;y₁)

Ta có : \(6=\dfrac{3+x_1}{2}\Leftrightarrow x_1=9\) 

\(-15=\dfrac{-5+y_1}{2}\) <=> y₁ = -25 

Vậy D(9;-25) 

ĐKXĐ : \(\left\{{}\begin{matrix}2x^2+5\ge0\\x^2-x+11\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\forall x\inℝ\)

\(\sqrt{2x^2+5}=\sqrt{x^2-x+11}\)

<=> 2x² + 5 = x² - x + 11 

<=> x² + x - 6 = 0

<=> (x - 2)(x + 3) = 0

<=> \(\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-3\end{matrix}\right.\)

Tập nghiệm phương trình S = {2;-3}

Theo đề bài, giá bán \(x\) sản phẩm là \(170x\) (nghìn đồng)

Để nhà sản xuất không bị lỗ thì \(P\left(x\right)\le170x\) \(\Leftrightarrow x^2+30x+3300\le170x\) \(\Leftrightarrow x^2-140x+3300\le0\) \(\Leftrightarrow\left(x-110\right)\left(x-30\right)\le0\)

Đặt \(f\left(x\right)=\left(x-110\right)\left(x-30\right)\). Ta lập bảng xét dấu:

 Vậy \(f\left(x\right)\le0\Leftrightarrow x\in\left[30;110\right]\). Do đó, để nhà sản xuất không bị lỗ thì số sản phẩm được sản xuất trong đoạn \(\left[30;110\right]\).

Khi bán hết $x$ sản phẩm thì số tiền thu được là: $170x$ (nghìn đồng).

Điều kiện để nhà sản xuất không bị lỗ là $170x\ge x^2+30x+3300\iff x^2-140x+3300\le 0$.

Xét $x^2-140x+3300=0\Rightarrow x=30$ hoặc $x=110$.

Bảng xét dấu $f(x)=x^2-140x+3300$:

Ta có: $x^2-140x+3300\le 0\iff x\in [30;110]$.

Vậy nếu nhà sản xuất làm ra từ $30$ đến $110$ sản phẩm thì họ sẽ không bị lỗ.

a) Tọa độ vector pháp tuyến của đường BC là \(\overrightarrow{n_{BC}}=\left(1;-1\right)\) 

\(\Rightarrow\) Tọa độ vector pháp tuyến của đường AH là \(\overrightarrow{n_{AH}}=\left(1;1\right)\) 

\(\Rightarrow AH:x+y+m=0\) với \(m\inℝ\)

Mà AH đi qua A nên tọa độ điểm A thỏa mãn pt đường thẳng AH \(\Rightarrow-1-2+m=0\) \(\Leftrightarrow m=3\)

Vậy \(AH:x+y+3=0\)

b) Gọi d là đường thẳng chứa đường trung bình ứng với cạnh BC của tam giác ABC. Khi đó \(d//BC\) nên \(\overrightarrow{n_{BC}}=\overrightarrow{n_d}=\left(1;-1\right)\) (với \(\overrightarrow{n_d}\) là vector pháp tuyến của đường thẳng d) \(\Rightarrow d:x-y+n=0\) \(\left(n\inℝ\right)\)

Mặt khác, tọa độ H là nghiệm của hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x-y+4=0\\x+y+3=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{7}{2}\\y=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow H\left(-\dfrac{7}{2};\dfrac{1}{2}\right)\)

Gọi \(I\left(x_I;y_I\right)\) là trung điểm AH \(\Rightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x_I=\dfrac{x_A+x_H}{2}=\dfrac{-1-\dfrac{7}{2}}{2}=-\dfrac{9}{4}\\y_I=\dfrac{y_A+y_H}{2}=\dfrac{-2+\dfrac{1}{2}}{2}=-\dfrac{3}{4}\end{matrix}\right.\) 

Do d là đường trung bình ứng với cạnh BC của tam giác ABC nên d đi qua trung điểm I của đường cao AH \(\Rightarrow-\dfrac{9}{4}-\left(-\dfrac{3}{4}\right)+n=0\) \(\Leftrightarrow n=\dfrac{3}{2}\) \(\Rightarrow d:x-y+\dfrac{3}{2}=0\)

+ Bước 1: Chọn 2 học sinh khối C, 13 học sinh khối B hoặc khối A có $C_5^2{C}_{25}^{13}$ cách.

+ Bước 2: Chọn 2 học sinh khối C, 13 học sinh khối B và khối A không thỏa mãn yêu cầu.

- Trường hợp 1: Chọn 2 học sinh khối C, 10 học sinh khối B và 3 học sinh khối A có $C_5^2{C}_{10}^{10}{C}_{15}^3$ cách.

- Trường hợp 2: Chọn 2 học sinh khối C, 9 học sinh khối B và 4 học sinh khối A có $C_5^2{C}_{10}^9{C}_{15}^4$ cách.

Vậy có $C_5^2\left(C_{25}^{13}-C_{10}^{10}{C}_{15}^3-C_{10}^9{C}_{15}^4\right)=51861950$ cách.

Hàm số đạt min trên R <=> a > 0 

y_min = 2 <=> \(\dfrac{-\Delta}{4a}=2\Leftrightarrow\dfrac{4ac-b^2}{4a}=2\Leftrightarrow b^2-4ac+8a=0\)

\(\Leftrightarrow b^2=4a.\left(c-2\right)\) (1) 

Lại có (p) cắt (d) : y = -2x + 6 tại hoành độ là 2;10

=> Đi qua điểm A(2;2) ; B(10;-14)

hay ta có 2 = a.2² + b.2 + c 

<=> 4a + 2b + c = 2

<=> c - 2 = -4a - 2b (2)

Tương tự : -14 = a.10² + b.10 + c

<=> 100a + 10b + c = -14  (3)

Thay (2) vào (1) ta được \(b^2=4a.\left(-4a-2b\right)\Leftrightarrow\left(b+4a\right)^2=0\Leftrightarrow b=-4a\)

Khi đó (3) <=> 60a + c = -14 (4) 

(2) <=> c - 4a = 2 (5) 

Từ (5) ; (4) => \(\left\{{}\begin{matrix}a=-\dfrac{1}{4}\\c=1\end{matrix}\right.\) 

\(b=-4a=\left(-4\right).\dfrac{-1}{4}=1\)

Vậy \(y=-\dfrac{1}{4}x^2+x+1\) (loại) do a > 0

=> Không có hàm số nào thỏa mãn 

huyh

Do a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC nên \(a+b-c\ne0\). Như vậy, \(\dfrac{a^3+b^3-c^3}{a+b-c}=c^2\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3-c^3=c^2a+c^2b-c^3\) 

\(\Leftrightarrow a^3+b^3-c^2a-c^2b=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)-c^2\left(a+b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2-c^2\right)=0\) 

\(\Leftrightarrow a^2-ab+b^2-c^2=0\) (do \(a+b\ne0\))

\(\Leftrightarrow c^2=a^2+b^2-ab\) (1)

Mặt khác, theo định lý cosin, ta có \(c^2=a^2+b^2-2ab.\cos C\) (2)

Từ (1) và (2), ta thu được \(2\cos C=1\Leftrightarrow\cos C=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\widehat{C}=60^o\)

Vậy \(\widehat{C}=60^o\)