\(S=\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{2025}-\sqrt{2024}}\)

Ta nhận xét thấy mỗi số hạng trong S đều dương. Từ đó ta đặt

\(A=\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{2024}-\sqrt{2023}}\left(A>0\right)\)

\(\Rightarrow S=A+\frac{1}{\sqrt{2025}-\sqrt{2024}}=A+\frac{\sqrt{2025}+\sqrt{2024}}{\left(\sqrt{2025}-\sqrt{2024}\right)\left(\sqrt{2025}+\sqrt{2024}\right)}\)

\(=A+\sqrt{2025}+\sqrt{2024}>\sqrt{2025}=45\)

Vậy \(S>45\)

PS: Phan Thanh Tịnh xem lại bài giải nhé bạn

Ta có : 1 = (n + 1) - n =\(\left(\sqrt{n+1}\right)^2-\left(\sqrt{n}\right)^2\)

\(=\left(\sqrt{n+1}\right)^2-\sqrt{n+1}.\sqrt{n}+\sqrt{n+1}.\sqrt{n}+\left(\sqrt{n}\right)^2\)

\(=\sqrt{n+1}.\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)+\sqrt{n}.\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\)

\(=\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n-1}+\sqrt{n}\right)\)\

\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\)

Áp dụng vào bài toán,ta có :

\(S=\sqrt{1}+\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{2025}-\sqrt{2024}=\sqrt{2025}\)= 45

Vậy S = 45

Đặt \(P=\left|x+5\right|+2-x\)

Vì \(\left|x+5\right|\ge0\) \(\forall x\) 

Dấu "=" xảy ra <=> x = - 5

Thay x = - 5 vào P ta được :

\(P\ge\left|-5+5\right|+2-5=-3\)

Vậy GTNN của P là - 3 tại x = - 5

Tam giác ABC cân tại A ,suy ra :                                                                                                                                                          Góc B = Góc C =70^o (hai góc ở đáy)                                                                                                                                                          Suy ra : Góc A=180^o- (70^o+70^o)=40                                                                                                                                                                                      Vậy góc A=40^o

dung roi

O x y C B A

(Vẽ có thể chưa chuẩn, thêm kí hiệu bằng nhau cho góc \(\widehat{xOc}\)và \(\widehat{cOy}\)vì \(OC\)là phân giác)

a/ Vì \(OC\)là phân giác \(\widehat{xOy}\Rightarrow\widehat{xOc}=\widehat{cOy}\)

\(\Rightarrow\)Khoảng cách từ \(C\)đến \(OA\)( Chính là \(CA\))  sẽ bằng khoảng cách từ \(C\)đến \(OB\)( Chính là \(CB\))

\(\Rightarrow CA=CB\left(đpcm\right)\)

b/ Xét \(\Delta ACD\)và \(\Delta BCE\)có:

        \(\widehat{ACD}=\widehat{BCE}\)(đối đỉnh)

       \(CA=CB\)(Chứng minh câu a)

      \(\widehat{DAC}=\widehat{EBC}=90\)độ

\(\Rightarrow\Delta ACD=\Delta BCE\left(g.c.g\right)\)

\(\Rightarrow CD=CE\)(hai cạnh tương ứng)

X=4

e mới lớp 6 thôi

ta có \(\left|x+3\right|>0\)

\(\left|x+1\right|>0\)

do đó 3x>0 \(\Rightarrow\)x>0

Ta có x+3+x+1=3x

2x+4=3x

x=4

S = IA + IC + IB + ID

IA + IC ngắn nhất khi I thuộc AC

IB + ID ngắn nhất khi I thuộc BD

Vậy IA + IC + IB + ID ngắn nhất khi I vừa thuộc AC, vừa thuộc BD

=> I là giao điểm AC và BD

Ta có:\(A=\frac{x+3}{x-2}=\frac{x-2+5}{x-2}=1+\frac{5}{x-2}\)

            \(\Rightarrow x-2\inƯ\left(5\right)\)

Ư(5) là:[1,-1,5,-5]

          Do đó ta được bảng sau:

\(A=\frac{x+3}{x-2}=\frac{\left(x-2\right)+5}{x-2}=1+\frac{5}{x-2}\)

Để \(1+\frac{5}{x-2}\) là số nguyên <=> \(\frac{5}{x-2}\) là số nguyên

=> x - 2 thuộc Ư(5) = { - 5; - 1; 1; 5 }

Với x - 2 = - 5 thì x = - 3 (TM)

Với x - 2 = - 1 thì x = 1 (TM)

Với x - 2 = 1 thì x = 3 (TM)

Với x - 2 = 5 thì x = 7 (TM)

Vậy x = { - 3; 1; 3; 7 } thì A thuộc Z

a ) \(A=\frac{m^3+3m^2+2m+5}{m\left(m+1\right)\left(m+2\right)+6}=\frac{m\left(m+1\right)\left(m+2\right)+5}{m\left(m+1\right)\left(m+2\right)+6}\)

Vì m(m + 1)(m + 2) + 5 và m(m + 1)(m + 2) + 6 là hai số tự nhiên liên tiếp nên chúng là NT cùng nhau hay A là phân số tối giản

b ) Vì m(m + 1)(m + 2) luôn chia hết cho 3 ( vì là tích 3 số tự nhiên liên tiếp )

6 chia hết cho 3

=> m(m + 1)(m + 2) + 6 chia hết cho 3

Mà theo a ) A là phân số tối giản 

\(\Rightarrow A=\frac{m\left(m+1\right)\left(m+2\right)+5}{m\left(m+1\right)\left(m+2\right)+6}\)

là số thập phân vô hạn tuần hoàn

Đặt |10-x|=t ta có: t²-t=0 => t(t-1)=0

=>t=0 hoặc t-1=0 <=> |10-x|=0 hoặc |10-x|-1=0

+)|10-x|=0 <=> 10-x=0 <=> x=10

+)|10-x|-1=0 <=>|10-x|=1 <=> 10-x=-1 hoặc 10-x=1 <=> x=11 hoặc x=9

Vậy x thuộc {9;10;11}