Bài 5: Tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Gọi M là trung điểm BC và K là điểm sao cho M là trung điểm của HK.
a) Chứng minh rằng CK vuông góc với AC
b) Gọi O và I lần lượt là trung điểm của AK, AH. Chứng minh IM là trung trực của EF và AK vuông góc với EF.
c) Qua O kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại T. Chứng minh góc BIT...
Đọc tiếp
Bài 5: Tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Gọi M là trung điểm BC và K là điểm sao cho M là trung điểm của HK.
a) Chứng minh rằng CK vuông góc với AC
b) Gọi O và I lần lượt là trung điểm của AK, AH. Chứng minh IM là trung trực của EF và AK vuông góc với EF.
c) Qua O kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại T. Chứng minh góc BIT vuông
a: Xét tứ giác BHCK có
M là trung điểm chung của BC và HK
=>BHCK là hình bình hành
=>BH//CK
mà BH\(\perp\)AC
nên CK\(\perp\)CA
b: ΔAFH vuông tại F
mà FI là đường trung tuyến
nên \(FI=\dfrac{AH}{2}\left(1\right)\)
ΔAEH vuông tại E
mà EI là đường trung tuyến
nên \(EI=\dfrac{AH}{2}\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra FI=EI
=>I nằm trên đường trung trực của EF(3)
Ta có: ΔBFC vuông tại F
mà FM là đường trung tuyến
nên FM=MB=MC=BC/2(4)
Ta có: ΔBEC vuông tại E
mà EM là đường trung tuyến
nên EM=MB=MC=BC/2(5)
Từ (4),(5) suy ra ME=MF
=>M nằm trên đường trung trực của EF(6)
Từ (3),(6) suy ra IM là đường trung trực của EF
BHCK là hình bình hành
=>BK//CH
mà CH\(\perp\)AB
nên BK\(\perp\)BA
=>B nằm trên đường tròn đường kính AK(7)
Ta có: CK\(\perp\)CA
=>C nằm trên đường tròn đường kính AK(8)
Từ (7),(8) suy ra A,B,K,C cùng thuộc (O)
Xét (O) có
\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC
\(\widehat{AKC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC
Do đó: \(\widehat{ABC}=\widehat{AKC}\)
MB=MC=ME=MF
=>BFEC nội tiếp (M)
=>\(\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\left(=180^0-\widehat{BFE}\right)\)
\(\widehat{AEF}+\widehat{KAC}=90^0-\widehat{AKC}+\widehat{ABC}=90^0-\widehat{ABC}+\widehat{ABC}=90^0\)
=>AK\(\perp\)EF