Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Vì \(\hept{\begin{cases}AD\perp BC\\CF\perp AB\\BE\perp AC\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\widehat{AFC}=90^0\\\widehat{AEB}=90^0\\\widehat{ADC}=90^0\end{cases}}\)
Xét tứ giác AEHF có:
\(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=180^0\)mà 2 góc này ở vị trí đối trong tứ giác AEHF
\(\Rightarrow AEHF\)nội tiếp ( dhnb )
+) Xét tứ giác ACDF có:
\(\widehat{AFC}=\widehat{ADC}=90^0\)
mà 2 đỉnh F,D cùng nhìn cạnh AC dưới 1 góc vuông
\(\Rightarrow ACDF\) nội tiếp
b) Ta có: \(\widehat{BAC}=\widehat{BVC}\left(=\frac{1}{2}sđ\widebat{BC}\right)\)
Vì tứ giác AEHF nội tiếp ( cmt) \(\Rightarrow\widehat{EHC}=\widehat{BAC}\left(tc\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{BVC}=\widehat{VHC}\)
Xét tam giác HVC có \(\widehat{BVC}=\widehat{VHC}\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta HVC\)cân tại C
+) Vì CE là đường cao của tam giác HVC cân tại C
=> CE là đường trung tuyến của tam giác HVC
=> E là trung điểm của HV
Xét tam giác FHB và tam giác EHC có:
\(\hept{\begin{cases}\widehat{FHB}=\widehat{EHC}\left(đ^2\right)\\\widehat{BFH}=\widehat{HEC}=90^0\end{cases}\Rightarrow\Delta FHB~EHC\left(g-g\right)}\) (d^2 là đối đỉnh )
\(\Rightarrow\frac{FH}{HB}=\frac{EH}{HC}\)
\(\Rightarrow FH.FC=EH.HB\)
\(\Rightarrow FH.CV=\frac{HV}{2}.HB\)
\(\Rightarrow BH.HV=2FH.CV\left(đpcm\right)\)
c) Mình sẽ làm tắt nha bạn, tắt này cơ bản thôi chỉ là cm tứ giác nội tiếp í mà
Tứ giác AFDC nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{FAD}=\widehat{FCD}\left(1\right)\)
Tứ giác EHDC nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{HED}=\widehat{HCD}\left(2\right)\)
(1), (2) \(\Rightarrow\widehat{FAD}=\widehat{HED}\)
Tứ giác BFHD nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{FBH}=\widehat{FDH}\left(3\right)\)
Tứ giác BAED nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{ABE}=\widehat{ADE}\left(4\right)\)
(3) , (4) \(\Rightarrow\widehat{FDA}=\widehat{HDE}\)
Xét tam giác AFD và tam giác EHD có:
\(\widehat{FAD}=\widehat{HED}\)và \(\widehat{FDA}=\widehat{HDE}\)
\(\Rightarrow\Delta AFD~\Delta EHD\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{FA}{FD}=\frac{HE}{HD}\left(5\right)\)và \(\widehat{AFD}=\widehat{EHD}\)
Xét tam giác AFI và tam giác VHD có:
\(\hept{\begin{cases}\widehat{AFI}=\widehat{VHD}\left(cmt\right)\\\widehat{FAI}=\widehat{HVD}\left(=\frac{1}{2}sđ\widebat{BN}\right)\end{cases}\Rightarrow\Delta AFI~\Delta VHD\left(g-g\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{FA}{F1}=\frac{HV}{HD}=\frac{2HE}{HD}\left(6\right)\)
(5) , (6) \(\Rightarrow\frac{FA}{FI}=\frac{2FA}{FD}\)
\(\Rightarrow FI=\frac{1}{2}FD\)
\(\Rightarrow ID=IF\left(đpcm\right)\)
a) Vì AB,AC là tiếp tuyến của (O) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}AB\perp OB\\AC\perp OC\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}\widehat{ABO}=90^0\\\widehat{ACO}=90^0\end{cases}}\)
Xét tứ giác ABOC có \(\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=180^0\)
Mà 2 góc này ở vị trí đối nhau trong tứ giác ABOC
\(\Rightarrow ABOC\)nội tiếp ( dhnb )
b) Xét (O) có AB là tiếp tuyến tại B ; MB là dây cung
\(\Rightarrow\widehat{ABM}=\widehat{ANB}\left(=\frac{1}{2}sđ\widebat{MB}\right)\)
Xét tam giác ABM và tam giác ANB có:
\(\hept{\begin{cases}\widehat{BAN}chung\\\widehat{ABM}=\widehat{ANB}\left(cmt\right)\end{cases}\Rightarrow\Delta ABM~\Delta ANB\left(g-g\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{AB}{AM}=\frac{AN}{AB}\Rightarrow AB^2=AM.AN\left(1\right)\)
c) Gọi H là giao điểm của BC và AO
Xét tam giác ABH và tam giác AOB có:
\(\hept{\begin{cases}\widehat{BAO}chung\\\widehat{AHB}=\widehat{ABO}=90^0\end{cases}}\Rightarrow\Delta ABH~\Delta AOB\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{AB}{AH}=\frac{AO}{AB}\Rightarrow AB^2=AO.AH\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AM.AN=AH.AO\)
\(\Rightarrow\frac{AM}{AH}=\frac{AO}{AN}\)
Xét tam giác AMH và tam giác AON có:
\(\hept{\begin{cases}\widehat{NAO}chung\\\frac{AM}{AH}=\frac{AO}{AN}\left(cmt\right)\end{cases}\Rightarrow\Delta AMH~\Delta AON\left(c-g-c\right)}\)
\(\Rightarrow\widehat{AHM}=\widehat{ANO}\)
Mà \(\widehat{AHM}+\widehat{MHO}=180^0\)
\(\Rightarrow\widehat{ANO}+\widehat{MHO}=180^0\)
Xét tứ giác MHON có
\(\widehat{ANO}+\widehat{MHO}=180^0\)mà 2 góc này ở vị trí đối nhau trong tứ giác MHON
\(\Rightarrow MHON\)nội tiếp ( dhnb )
\(\Rightarrow\widehat{NMO}=\widehat{NHO}\left(3\right)\)
Vì H là giao điểm của BC và AO ( h.vẽ )
Mà \(AB,AC\)là tiếp tuyến của (O)
\(\Rightarrow BC\perp OA\)
\(\Rightarrow\widehat{BHO}=90^0\)
Vì NF là tiếp tuyến của (O) tại N
\(\Rightarrow\widehat{ÒNF}=90^0\)
Xét tứ giác FHON có:\(\widehat{FHO}+\widehat{FNO}=180^0\)mà 2 góc này ở vị trí đối nhau trong tứ giác FHON
=> FHON nội tiếp ( dhnb )
\(\Rightarrow\widehat{NHO}=\widehat{NFO}\left(4\right)\)
Từ (3) và (4) \(\Rightarrow\widehat{NMO}=\widehat{NFO}\)
\(\Rightarrow FMON\)nội tiếp (dhnb)
\(\Rightarrow\widehat{FMO}+\widehat{FNO}=180^0\)
\(\Rightarrow\widehat{FMO}=90^0\)
\(\Rightarrow FM\perp OM\)
\(\Rightarrow FM\)là tiếp tuyến của (O)
d) Vì E thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác MNO
\(\Rightarrow E\)thuộc đường tròn đường kính OF
\(\Rightarrow\widehat{OEF}=90^0\)
+) Vì E thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC hay E thuộc đường tròn đường kính AO
\(\Rightarrow\widehat{AEO}=90^0\)
\(\Rightarrow\widehat{OEF}+\widehat{AEO}=180^0\)
\(\Rightarrow A,E,F\)thẳng hàng
Lại có vì góc AEO= 90 độ \(\Rightarrow OE\perp AF\left(5\right)\)
Gọi K là trung điểm của MN
\(\Rightarrow OF\perp MN\)
\(\Rightarrow AK\perp OF\)
Xét tam giác AOF có: \(\hept{\begin{cases}AK\perp OF\\FH\perp AO\end{cases}}\)mà AK cắt FH tại P
=> P là trực tâm của tam giác AOF
\(\Rightarrow OP\perp AF\left(6\right)\)
Từ (5) và (6) \(\Rightarrow O,E,P\)thẳng hàng ( đpcm )