Số cách lấy 3 cây bút bất kì là \(C^3_{15}\left(cách\right)\)

Số cách lấy 3 cây màu xanh là \(C^3_4\left(cách\right)\)

=>Xác suất là \(\dfrac{C^3_4}{C^3_{15}}=\dfrac{4}{455}\)

Có đúng 1 bộ số là (1,2,3,4) có tổng bằng 10

Không gian mẫu: \(A_6^4\)

Chọn bộ số 1,2,3,4 có 1 cách, xếp chúng theo hàng ngang có \(4!\) cách

Xác suất: \(P=\dfrac{4!}{A_6^4}=\dfrac{1}{15}\)

ĐKXĐ: n>=3

\(A^2_n-C^3_n=10\)

=>\(\dfrac{n!}{\left(n-2\right)!}-\dfrac{n!}{\left(n-3\right)!\cdot3!}=10\)

=>\(n\left(n-1\right)-\dfrac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{6}=10\)

=>\(6n\left(n-1\right)-n\left(n-1\right)\left(n-2\right)=60\)

=>\(n\left(n-1\right)\left(6-n+2\right)=60\)

=>\(\left(n^2-n\right)\left(-n+8\right)=60\)

=>\(-n^3+8n^2+n^2-8n-60=0\)

=>\(n^3-9n^2+8n+60=0\)

=>(n-5)(n-6)(n+2)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}n=5\left(nhận\right)\\n=6\left(loại\right)\\n=-2\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Nhị thức sẽ trở thành là \(\left(x^2-\dfrac{2}{x^3}\right)^5\)

SHTQ là \(C^k_5\cdot\left(x^2\right)^{5-k}\cdot\left(-\dfrac{2}{x^3}\right)^k\)

\(=C^k_5\cdot x^{10-2k}\cdot\dfrac{\left(-2\right)^k}{x^{3k}}\)

\(=C^k_5\cdot\left(-2\right)^k\cdot x^{10-5k}\)

Hệ số của số hạng chứa x⁵ tương ứng với 10-5k=5

=>k=1

=>Hệ số là \(C^1_5\cdot\left(-2\right)^1=5\cdot\left(-2\right)=-10\)

\(A_n^2-C_n^3=10\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{n!}{\left(n-2\right)!}-\dfrac{n!}{3!.\left(n-3\right)!}=10\)

\(\Leftrightarrow n\left(n-1\right)-\dfrac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{6}=10\)

\(\Leftrightarrow-n^3+9n^2-8n-60=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}n=-2\left(loại\right)\\n=6\left(loại\right)\\n=5\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x^2-\dfrac{2}{x^3}\right)^5=\left(x^2-2.x^{-3}\right)^5\)

SHTQ trong khai triển: 

\(C_5^k.\left(x^2\right)^k.\left(-2.x^{-3}\right)^{5-k}=C_5^k.\left(-2\right)^{5-k}.x^{5k-15}\)

Số hạng chứa \(x^5\) thỏa mãn: \(5k-15=5\)

\(\Rightarrow k=4\)

Hệ số: \(C_5^4.\left(-2\right)^{5-4}=-10\)

a. Sai

Có \(6.7.7.7=6.7^3\) số 

b. Đúng

Gọi số có 4 chữ số dạng \(\overline{abcd}\) \(\Rightarrow\overline{abcd}>3000\Rightarrow a\ge3\)

Chọn a có 4 cách (từ 3,4,5,6)

Bộ bcd có \(A_6^3\) cách chọn và xếp thứ tự

\(\Rightarrow4.A_6^3=480\) số thỏa mãn

c. Sai

Gọi số có 3 chữ số là \(\overline{abc}\)

Do số chẵn nên c chẵn

TH1: \(c=0\Rightarrow\) bộ ab có \(A_6^2\) cách chọn và xếp thứ tự

TH2: \(c\ne0\Rightarrow c\) có 3 cách chọn (từ 2,4,6)

a có 5 cách chọn (khác 0 và c), b có 5 cách chọn (khác a và c)

\(\Rightarrow A_6^2+3.5.5=105\) số

a. Số các số như vậy chỉ có \(6.7^3\) do chữ số đầu tiên phải khác 0 -> Sai

b. Gọi số có 4 chữ số thỏa mãn trên là \(\overline{abcd}\) với \(a\ge3\) và a, b, c, d phân biệt. Khi đó số các số như vậy là \(4.6.5.4=480\) -> Đúng.

c. Gọi số thỏa mãn là \(\overline{abc}\) với a, b, c phân biệt và c chẵn. Khi đó \(c\in\left\{0,2,4,6\right\}\) 

 Xét \(c=0\) thì có \(6.5=30\) số

 Xét \(c\in\left\{2,4,6\right\}\) thì có \(3.5.5=75\) số

Vậy có tất cả \(30+75=105\) số thỏa mãn -> Sai.

Có 7 cách chọn chữ số hàng đơn vị

Có 6 cách chọn chữ số hàng chục

Có 5 cách chọn chữ số hàng trăm

Số số tự nhiên có thể lập được là:

5.6.7 = 210 (số)

Lấy được 4 quả cầu giống nhau khi cả 4 quả đều đỏ, hoặc đều trắng, hoặc đều xanh

Xác suất:

\(P=\dfrac{4}{12}.\dfrac{3}{11}.\dfrac{5}{12}.\dfrac{2}{6}+\dfrac{5}{12}.\dfrac{2}{11}.\dfrac{4}{12}.\dfrac{3}{6}+\dfrac{3}{12}.\dfrac{2}{11}.\dfrac{3}{12}.\dfrac{1}{6}=...\)

Tam giác chỉ có 2 đỉnh A và B thì ko thể xác định được các trung tuyến, nên đề bài thiếu dữ liệu

Nguyên tắc chọn trong những bài chọn cầu khác màu khác số là chọn từ ít số nhất chọn đi.

Chọn 1 quả cầu vàng có 5 cách

Chọn 1 quả cầu đỏ khác màu quả cầu vàng: có 4 cách

Chọn 1 quả cầu xanh khác màu cầu vàng và đỏ: có 4 cách

\(\Rightarrow5.4.4=80\) cách chọn thỏa mãn