a: Xét tứ giác ABMC có

I là trung điểm chung của BC và AM

=>ABMC là hình bình hành

Hình bình hành ABMC có \(\widehat{BAC}=90^0\)

nên ABMC là hình chữ nhật

b: Sửa đề: Gọi H là trung điểm của AC

ΔABC vuông tại A

mà AI là đường trung tuyến

nên IA=IC

Xét tứ giác AICK có

H là trung điểm chung của AC và IK

=>AICK là hình bình hành

Hình bình hành AICK có IA=IC

nên AICK là hình thoi

3x ( x+1) - 2x (x+2) = -1-x

\(\Rightarrow\) 3x² + 3x - 2x² - x +1 +x =0

\(\Rightarrow\) x² +1 = 0

\(\Rightarrow\) x² = -1

Vì x² luôn \(\ge\) 0 với ∀ x

mà -1 < 0 nên x \(\in\varnothing\)

Vậy phương trình vô nghiệm

a) Do \(AH\) là đường cao của \(\Delta ABC\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow AH\perp BC\)

\(\Rightarrow\widehat{AHC}=90^0\)

Tứ giác AHCN có:

M là trung điểm của AC (gt)

M là trung điểm của HN (gt)

\(\Rightarrow AHCN\) là hình bình hành

Mà \(\widehat{AHC}=90^0\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow AHCN\) là hình chữ nhật

b) Do AHCN là hình chữ nhật (cmt)

\(\Rightarrow AN=HC\) và \(AN\) // \(HC\)

\(\Delta ABC\) cân tại A có AH là đường cao (gt)

\(\Rightarrow AH\) cũng là đường trung trực của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow H\) là trung điểm của BC

\(\Rightarrow BH=HC\)

Mà \(AN=HC\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow AN=BH\)

Do \(AN\) // \(HC\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow AN\) // \(BH\)

Tứ giác ABHN có:

\(AN\) // \(BH\left(cmt\right)\)

\(AN=BH\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow ABHN\) là hình bình hành

\(\Rightarrow AB\) // \(HN\)

a: Xét ΔHDC có

N,M lần lượt là trung điểm của HD,HC

=>NM là đường trung bình của ΔHDC

=>NM//DC và \(MN=\dfrac{DC}{2}\)

Ta có: NM//DC
DC\(\perp\)AD

Do đó: NM\(\perp\)DA

b: \(MN=\dfrac{DC}{2}\)

mà \(AB=\dfrac{DC}{2}\)

nên MN=AB

ta có: MN//CD

CD//AB

Do đó: MN//AB

Xét tứ giác ABMN có

AB//MN

AB=MN

Do đó: ABMN là hình bình hành

a: Ta có: ED\(\perp\)HF

GK\(\perp\)HF

Do đó: ED//GK

Xét ΔEDH vuông tại D và ΔGKF vuông tại K có

EH=GF

\(\widehat{EHD}=\widehat{GFK}\)(hai góc so le trong, EH//FG)

Do đó: ΔEDH=ΔGKF

=>ED=GK

Xét tứ giác EDGK có

ED//GK

ED=GK

Do đó: EDGK là hình bình hành

b: Ta có: EDGK là hình bình hành

=>EG cắt DK tại trung điểm của mỗi đường

mà O là trung điểm của DK

nên O là trung điểm của EG

Xét tứ giác EMGN có

EM//GN

EN//GM

Do đó: EMGN là hình bình hành

=>EG cắt MN tại trung điểm của mỗi đường(1)

mà O là trung điểm của EG

nên O là trung điểm của MN

c: Ta có: EHGF là hình bình hành

=>EG cắt HF tại trung điểm của mỗi đường(2)

Từ (1),(2) suy ra EG,MN,HF đồng quy

\(8xy^3-x\cdot\left(x-y\right)^3\)

\(=x\left[8y^3-\left(x-y\right)^3\right]\)

\(=x\cdot\left[\left(2y\right)^3-\left(x-y\right)^3\right]\)

\(=x\left(2y-x+y\right)\left[\left(2y\right)^2+2y\left(x-y\right)+\left(x-y\right)^2\right]\)

\(=x\left(-x+3y\right)\left(4y^2+2xy-2y^2+x^2-2xy+y^2\right)\)

\(=x\left(-x+3y\right)\left(5x^2-y^2\right)\)

\(12x^3-6x^2y+3x^2y^2\)

\(=3x^2\cdot4x-3x^2\cdot2y+3x^2\cdot y^2\)

\(=3x^2\left(4x-2y+y^2\right)\)

A  = n³ + 3n² + 2n

A = n(n² + 3n + 2)

A = n[(n² + n) + (2n + 2)]

A = n[n(n + 1) + 2(n + 1)]

A = n(n + 1)(n + 2)

+ Nếu n ⋮ 3 

⇒ A ⋮ 3; n và n + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên sẽ có một số là số lẻ, một số là số chẵn nên n(n + 1) ⋮ 2 ⇒ A ⋮ 2

⇒ A \(\in\) B(2  ; 3); 2= 2; 3 = 3 ⇒ BCNN(2; 3) = 6 ⇒ A \(\in\) B(6) ⇒ A ⋮ 6

+ Nếu n không chia hết cho 3 thì n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2 ta có:

+ n = 3k + 1 thì n + 2 = 3k + 1 + 2 = 3k + ( 1 + 2) =  3k  +  3 ⋮ 3

+Nếu n = 3k  +  2 thì n + 1 = 3k + 2  + 1 = 3k + ( 2 + 1) = 3k +  3 ⋮ 3

Chứng minh tương tự với trường hợp A ⋮ 3 ở trên ta có A  là bội của 6 hay A ⋮ 6

Vậy A ⋮ 6 ∀ n \(\in\) Z⁺