Thắng nên hạn chế dùng kiến thức lớp trên để giải bài lớp dưới vì thầy giáo sẽ không chấp nhận cách giải đo.

Từ bước \(P=\frac{t^2-t-3}{t^2+t+1}\) mình đề xuất sử dụng tam thức để giải

\(\Rightarrow t^2\left(P-1\right)+t\left(P+1\right)+P+3=0\)

Để PT có nghiệm thì 

\(\Delta=\left(P+1\right)^2-4\left(P-1\right)\left(P+3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow-3P^2-6P+13\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{-4\sqrt{3}-3}{3}\le P\le\frac{4\sqrt{3}-3}{3}\)

*)Với \(y=0\) ta dễ thấy ĐPCM

*)Với \(y=0\) thì:

Đặt \(P=\frac{x^2-xy-3y^2}{x^2+xy+y^2}=\frac{\left(\frac{x}{y}\right)^2-\frac{x}{y}-3}{\left(\frac{x}{y}\right)^2+\frac{x}{y}+1}\)

Đặt \(t=\frac{x}{y}\) thì \(P=\frac{t^2-t-3}{t^2+t+1}\).Xét \(f\left(t\right)=\frac{t^2-t-3}{t^2+t+1}\)

\(f'\left(t\right)=\frac{2\left(t^2+4y+1\right)}{\left(t^2+t+1\right)^2};f'\left(t\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=-2-\sqrt{3}\\t=-2+\sqrt{3}\end{cases}}\)

Dựa vào bảng biến thiên: Max\(f\left(t\right)=f\left(-2-\sqrt{3}\right)=\frac{4\sqrt{3}-3}{3}\)

Min\(f\left(t\right)=f\left(-2+\sqrt{3}\right)=\frac{-4\sqrt{3}-3}{3}\)

Suy ra \(\frac{-4\sqrt{3}-3}{3}\le P\le\frac{4\sqrt{3}-3}{3}\)

\(\frac{-4\sqrt{3}-3}{3}\le\frac{x^2-xy-3y^2}{x^2+xy+y^2}\le\frac{4\sqrt{3}-3}{3}\)

Lại có: \(x^2+xy+y^2\le3\) nên \(-4\sqrt{3}-3\le x^2-xy-3y^2\le4\sqrt{3}-3\)

Cho \(P=9xy+10yz+11xz\), với \(x+y+z=1\) thì

\(P=9xy+10yz+11xz=9xy+z\left(10y+11x\right)\)\(=9xy+\left(1-x-y\right)\left(10y+11x\right)\)

Khai triển và rút gọn, ta thu được

\(P=-11x^2-10y^2+11x+10y-12xy\)

\(\Leftrightarrow11x^2+\left(12y-11\right)x+10y^2-10y+P=0\)(*)

Coi đây là tam thức bậc hai ẩn x, , do điều kiện tồn tại của x  nên suy ra (*) phải có nghiệm, tức là

\(\Delta=\left(12y-11\right)^2-44\left(10y^2-10y+P\right)\ge0\)

Hay \(-296y^2+176y+121-44P\ge0\)

\(\Leftrightarrow P\le-\frac{74}{11}\left(y^2-\frac{22}{37}y-\frac{121}{296}\right)\)

Dễ thấy: \(y^2-\frac{22}{37}y-\frac{121}{296}\ge-\frac{5445}{10952}\)

\(\Rightarrow P\le\left(-\frac{74}{11}\right)\cdot\left(-\frac{5445}{10952}\right)=\frac{195}{148}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=\frac{25}{74};y=\frac{11}{37};z=\frac{27}{74}\)

T/b: giải toán với sự trợ giúp của Wolfram|Alpha, bài này còn có cách hệ số bất định uct nhưng mình chưa hiểu lắm, để mai hỏi cô r` post cho :))

Dùng hệ số bất định giải

Ta có: 

\(9xy+10yz+11zx=5\left(xy+zx\right)+4\left(yz+xy\right)+6\left(zx+yz\right)\)

\(=5x\left(1-x\right)+4y\left(1-y\right)+6z\left(1-z\right)=\left(5x-5x^2\right)+\left(4y-4y^2\right)+\left(6z-6z^2\right)\)

\(=\frac{255}{148}+\frac{60}{37}\left(x+y+z\right)-\left(5x^2-\frac{125x}{37}+\frac{3125}{5476}\right)-\left(4y^2-\frac{88y}{37}+\frac{484}{1369}\right)-\left(6z^2-\frac{162z}{37}+\frac{2187}{2738}\right)\)

\(=\frac{495}{148}-5\left(x-\frac{25}{74}\right)^2-4\left(y-\frac{11}{37}\right)^2-6\left(z-\frac{27}{74}\right)^2\le\frac{495}{148}\)

Vậy GTLN là \(\frac{495}{148}\)đạt được khi \(\hept{\begin{cases}x=\frac{25}{74}\\y=\frac{11}{37}\\z=\frac{27}{74}\end{cases}}\)

ta có KH vg vs BE 

        KI vg vs CE 

TỪ đó suy  ra K là trực tâm suy ra KE sẽ VG vs BC

KH vg vs BE 

KI vg vs CE

SUY RA K là trực tâm trong tam giác BEC suy ra KE vg vs BC

3x⁴+x²-5

chiều dài : 10

chiều rộng ; 6

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\ge\frac{\left(1+1+1+1\right)^2}{a+b+c+d}=\frac{16}{a+b+c+d}\) ta có: 

\(\frac{16}{2x+3y+3z}\le\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\)

\(\frac{16}{3x+2y+3z}\le\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\)

\(\frac{16}{2x+3y+3z}\le\frac{1}{y+z}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có: 

\(16\left(\frac{1}{2x+3y+3z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{3x+3y+2z}\right)\)

\(\le4\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}\right)=4\cdot12=48\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2x+3y+3z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{3x+3y+2z}\le3\)

các bạn có thể giúp mình giải bài toán này  bằng bất đẳng thức \(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\le\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\)

bo dua nao no biet

kh trl thì thôi im đi đừng vào rep nữa vô văn hóa vừa 

Bằng 66

\(2\sqrt{3}\). (\(3\sqrt{3}+8\sqrt{3}-5\))+ \(10\sqrt{3}\)

= \(2\sqrt{3}.3\sqrt{3}+8\sqrt{3}+10\sqrt{3}-5\)

=\(18+2\sqrt{3}-5\)

=\(13+21\sqrt{3}\)