ĐKXĐ: \(x\ne\dfrac{k\pi}{2}\)

\(sin2x+sinx-\dfrac{1}{2sinx}-\dfrac{1}{2sinx.cosx}=\dfrac{2cos2x}{2sinx.cosx}\)

\(\Rightarrow sin^22x+sin2x.sinx-cosx-1=2cos2x\)

\(\Leftrightarrow sin^22x-1+2sin^2x.cosx-cosx=2cos2x\)

\(\Leftrightarrow-cos^22x-cosx\left(1-2sin^2x\right)=2cos2x\)

\(\Leftrightarrow-cos^22x-cosx.cos2x=2cos2x\)

\(\Leftrightarrow cos2x\left(cos2x+cosx+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow cos2x\left(2cos^2x+cosx+1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}cos2x=0\\2cos^2x+cosx+1=0\left(vn\right)\\\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}\)

\(\Leftrightarrow tan\left(pi+\dfrac{pi}{2}-x\right)+\dfrac{sinx}{1+cosx}=2\)

\(\Leftrightarrow cotx+\dfrac{sinx}{1+cosx}=2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{cosx}{sinx}+\dfrac{sinx}{1+cosx}=2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{cosx+cos^2x+sin^2x}{sinx\left(1+cosx\right)}=2\)

\(\Leftrightarrow sinx=\dfrac{1}{2}\)

=>x=pi/6+k2pi hoặc x=5/6pi+k2pi

ĐKXĐ: \(x\ne k\pi\)

\(tan\left(\dfrac{3\pi}{2}-x\right)+\dfrac{sinx}{1+cosx}=2\)

\(\Leftrightarrow cotx+\dfrac{sinx\left(1-cosx\right)}{\left(1-cosx\right)\left(1+cosx\right)}=2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{cosx}{sinx}+\dfrac{sinx\left(1-cosx\right)}{sin^2x}=2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{cosx}{sinx}+\dfrac{1-cosx}{sinx}=2\)

\(\Rightarrow1=2sinx\)

\(\Leftrightarrow sinx=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\\x=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi\end{matrix}\right.\)

$(n+1)! > 2^{n+3}\qquad \forall n\geqslant 5$

$\bullet$ Với $n = 5$ ta có:

$\begin{cases}(5 + 1)! = 6! = 720\\2^{5+3} = 2^8 = 256\end{cases}\Rightarrow (5+1)! > 2^{5+3}$

$\bullet$ Giả sử bất đẳng thức đúng với mọi $n = k\geqslant 5$, tức là:

$(k+1)! > 2^{k+3}\qquad \forall k\geqslant 5$

$\bullet$ Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với $n = k+1$, hay:

$(k+2)! > 2^{k+4}$

Thật vậy, ta có:

$\quad \begin{cases}k + 2 > 2\\(k+1)! > 2^{k+3}\end{cases}\quad \forall k\geqslant 5$

$\Leftrightarrow (k+2).(k+1)! > 2.2^{k+3}$

$\Leftrightarrow (k+2)! > 2^{k+4}$

Vậy bất đẳng thức đã cho luôn đúng với mọi $n\geqslant 5$

1.

Có \(A_7^5-A_6^4\) số thỏa mãn

Tính tổng, gọi số đó là \(\overline{abcde}\) 

- Trong trường hợp tính cả \(a=0\), có \(A_7^5\) số, mà vai trò của các số là hoàn toàn như nhau, nên số lần xuất hiện ở mỗi vị trí là như nhau

Do đó, ở mỗi vị trí, một chữ số sẽ xuất hiện: \(\dfrac{A_7^5}{7}=360\) lần

Tổng của các số (bao gồm cả 0 đứng đầu) là: 

\(360\left(0+1+2+3+4+5+6+7\right).11111=S\)

- Trong trường hợp số đứng đầu bằng 0, hay số đó có dạng \(\overline{0bcde}\) , có tất cả \(A_6^4\) số

Tương tự như trên, mỗi chữ số sẽ xuất hiện \(\dfrac{A_6^4}{6}=60\) lần

Tổng của các số là: \(60.\left(1+2+3+4+5+6+7\right).1111=S_1\)

Vậy tổng cần tìm là: \(S-S_1=....\)

Bài 2 hoàn toàn giống bài 1, kết quả của tổng là:

\(S=\dfrac{A_6^4}{6}.\left(0+2+3+4+6+7\right).1111-\dfrac{A_5^3}{5}.\left(2+3+4+6+7\right).111\)

1:

=>\(cotx+\dfrac{sinx}{1+cosx}=2\)

=>cosx+1=2(1+cosx)

=>sinx=1/2 hoặc cosx=-1(loại)

=>x=pi/6+k2pi hoặc x=5/6pi+k2pi

Phương trình đó là \(2sin^2\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{2}=0\)

Do nó tương đương với: \(\dfrac{1}{2}-\left(1-2sin^2\dfrac{x}{2}\right)=0\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}-cosx=0\)

\(\Leftrightarrow cosx=\dfrac{1}{2}\) có nghiệm là 2 điểm như hình vẽ

1.

\(\Leftrightarrow sin5x=1-2cos^2x\)

\(\Leftrightarrow sin5x=-cos2x\)

\(\Leftrightarrow sin5x=sin\left(2x-\dfrac{\pi}{2}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}5x=2x-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\\5x=\dfrac{3\pi}{2}-2x+k2\pi\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{k2\pi}{3}\\x=\dfrac{3\pi}{14}+\dfrac{k2\pi}{7}\end{matrix}\right.\)

2.

\(\Leftrightarrow3sin^2x-7sinx.cosx+4cos^2x=0\)

Nhận thấy \(cosx=0\) ko phải nghiệm

Với \(cosx\ne0\) chia 2 vế cho \(cos^2x\)

\(\Rightarrow3tan^2x-7tanx+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}tanx=1\\tanx=\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\\x=arctan\left(\dfrac{4}{3}\right)+k\pi\end{matrix}\right.\)

\(sinx=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\\x=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi\end{matrix}\right.\)

Điểm biểu diễn là các điểm C, D

\(cosx=cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\Rightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\)