a. 

Có \(C_{25}^2=300\) cái bắt tay

b.

Có 2 số có 1 chữ số

Với số có 2 chữ số: gọi số đó là \(\overline{ab}\Rightarrow b\) có 2 cách chọn, a có 4 cách chọn \(\Rightarrow2.4=8\) số

Với số có 3 chữ số: chữ số hàng đơn vị có 2 cách chọn, 2 chữ số còn lại mỗi chữ số có 4 cách chọn \(\Rightarrow2.4.4=32\) số

Với số có 4 chữ số: hàng đơn vị có 2 cách chọn, 3 chữ số còn lại mỗi chữ số có 4 cách chọn \(\Rightarrow2.4.4.4=128\) số

Tổng cộng: \(1+8+32+128=169\) số

\(x^2+y^2+xy+2=3\left(x+y\right)\)

\(\Leftrightarrow4x^2+4y^2+4xy+8-12x-12y=0\)

\(\Leftrightarrow\left(4x^2+y^2+9+4xy-12x-6y\right)+3y^2-6y+3=4\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+y-3\right)^2+\left(\sqrt{3}y-\sqrt{3}\right)^2=4\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{2x+y-3}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}y-\sqrt{3}}{2}\right)^2=1\)

Đặt \(\dfrac{2x+y-3}{2}=sina\Rightarrow\dfrac{\sqrt{3}y-\sqrt{3}}{2}=cosa\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{2}{\sqrt{3}}cosa+1\\x=sina-\dfrac{1}{\sqrt{3}}cosa+1\end{matrix}\right.\)

\(P=\dfrac{3\left(sina-\dfrac{1}{\sqrt{3}}cosa+1\right)+2\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}cosa+1\right)+1}{sina+\dfrac{1}{\sqrt{3}}cosa+8}=\dfrac{3sina+\dfrac{1}{\sqrt{3}}cosa+6}{sina+\dfrac{1}{\sqrt{3}}cosa+8}\)

\(\Rightarrow P.sina+\dfrac{P}{\sqrt{3}}cosa+8P=3sina+\dfrac{1}{\sqrt{3}}cosa+6\)

\(\Rightarrow\left(P-3\right)sina+\left(\dfrac{P-1}{\sqrt{3}}\right)cosa=6-8P\)

\(\Rightarrow\left(P-3\right)^2+\dfrac{\left(P-1\right)^2}{3}\ge\left(6-8P\right)^2\)

\(\Rightarrow47P^2-67P+20\le0\)

\(\Rightarrow\dfrac{20}{47}\le P\le1\)

Cảm ơn thầy ạ

a.

Do M là trung điểm AB, N là trung điểm BD \(\Rightarrow\) MN là đường trung bình tam giác ABD

\(\Rightarrow MN||AD\)

Mà \(AD\in\left(ADC\right)\Rightarrow MN||\left(ADC\right)\)

b.

Gọi Q là trung điểm AC \(\Rightarrow\) PQ là đường trung bình tam giác ACD

\(\Rightarrow PQ||AD\Rightarrow PQ||MN\)

\(\Rightarrow Q\in\left(MNP\right)\)

\(\Rightarrow PQ=\left(MNP\right)\cap\left(ADC\right)\)

c.

N là trung điểm BD, P là trung điểm DC \(\Rightarrow\) NP là đtb tam giác BCD

\(\Rightarrow NP||BC\Rightarrow NP||\left(ABC\right)\)

d.

M là trung điểm AB, Q là trung điểm AC \(\Rightarrow\) MQ là đtb tam giác ABC

\(\Rightarrow MQ||BC\Rightarrow MQ||NP\Rightarrow Q\in\left(MNP\right)\)

\(\Rightarrow MQ=\left(MNP\right)\cap\left(ABC\right)\)

2.

Do M là trọng tâm tam giác ACD, theo tính chất trọng tâm:

\(\dfrac{AM}{AI}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow\dfrac{IM}{AI}=\dfrac{1}{3}\)

Do N là trọng tâm BCD, theo tính chất trọng tâm:

\(\dfrac{BN}{BI}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow\dfrac{IN}{BI}=\dfrac{1}{3}\)

\(\Rightarrow\dfrac{IM}{BI}=\dfrac{IN}{BI}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow MN||AB\) theo định lý Talet đảo

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}AB\in\left(ABC\right)\Rightarrow MN||\left(ABC\right)\\AB\in\left(ABD\right)\Rightarrow MN||\left(ABD\right)\end{matrix}\right.\)

3.

Do E là trung điểm AC, F là trung điểm AD

\(\Rightarrow EF\) là đường trung bình tam giác ACD

\(\Rightarrow EF||CD\)

Mà \(CD\in\left(BCD\right)\)

\(\Rightarrow EF||\left(BCD\right)\)

TH1: các công tắc trên đoạn AB đều đóng (có 1 cách), các công tắc trên đoạn CD thế nào cũng được.

Mỗi công tắc trên CD có 2 trạng thái (đóng - mở) \(\Rightarrow\) 4 công tắc có \(2.2.2.2=16\) cách

TH2: các công tắc trên đoạn CD đều đóng, các công tắc trên đoạn AB thế nào cũng được

Như trên, ta có 3 công tắc trên đoạn AB có \(2.2.2=8\) cách đóng - mở

Cần loại trừ trường hợp tất cả 7 công tắc đều đóng bị lặp lại 2 lần

Do đó số cách đóng mở là: \(16+8-1=23\) cách

Trong mp (ABCD), nối MN kéo dài cắt AB tại E và cắt AD tại F

Trong mp (SAB), nối EP kéo dài cắt SA tại G

Trong mp (SAD), nối GF cắt SD tại H

\(\Rightarrow\) Ngũ giác NMPGH là thiết diện của (MNP) và chóp

a: \(\overline{abcd}\)

d có 4 cách

a có 8 cách

b có 7 cách

c có 6 cách

=>Có 4*8*7*6=1344 số

d: Chúng ta sẽ xếp (1;5) vào trước

=>Có \(A^2_4=12\left(cách\right)\)

Số cách chọn cho 2 vị trí còn lại từ 7 số là: \(C^2_7=21\left(cách\right)\)

=>Có 12*21=252 cách

Trong mp (BCD), do \(\dfrac{BP}{PD}\ne\dfrac{BN}{NC}\Rightarrow NP\) và CD không song song

\(\Rightarrow NP\) và CD kéo dài cắt nhau tại E

\(\Rightarrow CD\cap\left(MNP\right)=E\) hay giao của CD và (MNP) là giao điểm của NP và CD

Bấm 3 nút bất kì: có \(A_{10}^3\) cách

Bấm 3 nút sao cho tổng của chúng không lớn hơn 3: chỉ có duy nhất 1 bộ số là 0,1,2 thỏa mãn, bộ số này có \(3!=6\) cách xếp khác nhau

\(\Rightarrow A_{10}^3-6\) các để học sinh B mở được cửa

Chọn B

Thiết diện của chóp cắt bởi mp (MNP) chính là tam giác MNP