Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lai thì nó định ra trên hai cạnh ấy những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Giải:

Thay tọa độ điểm A(4; 3) vào đồ thị hàm số:

y = 2\(x\) - 5 ta có:

3 = 2.4 - 5

3 = 8 - 5

3 = 3

Vậy A(4; 3) thuộc đồ thị hàm số.

Thay tọa độ B(3; - 1) vào đồ thị hàm số

y = 2\(x-5\) ta có:

- 1 = 2.3 - 5

- 1 = 1 (vô lý)

Vậy B(3; -1) không thuộc đồ thị hàm số đã cho.

Thay tọa độ điểm C(-4; -3) vào đồ thị hàm số

y = 2\(x\) - 5 ta có:

-3 = 2.-4 - 5

- 3 = -8 - 5

- 3 = - 13 (vô lý)

Vậy điểm C(-4; -3) không thuộc đồ thị hàm số đã cho.

Thay tọa độ điểm D(2; 1) vào đồ thị hàm số

y = 2\(x\) - 5 ta có:

1 = 2.2 - 5

1 = - 1(vô lý)

Vậy điểm D(2; 1) không thuộc đồ thị hàm số đã cho.

Từ những lập luận trên ta có chỉ có duy nhất điểm A(4; 3) là điểm thuộc đồ thị hàm số.

a: Xét ΔBEA vuông tại E và ΔBAD vuông tại A có

\(\hat{EBA}\) chung

Do đó: ΔBEA~ΔBAD

b: ΔBEA~ΔBAD

=>\(\frac{BE}{BA}=\frac{BA}{BD}\)

=>\(BE\cdot BD=BA^2\left(1\right)\)

Xét ΔBHA vuông tại H và ΔBAC vuông tại A có

\(\hat{HBA}\) chung

Do đó: ΔBHA~ΔBAC

=>\(\frac{BH}{BA}=\frac{BA}{BC}\)

=>\(BH\cdot BC=BA^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(BH\cdot BC=BE\cdot BD\)

c: \(BH\cdot BC=BE\cdot BD\)

=>\(\frac{BH}{BD}=\frac{BE}{BC}\)

Xét ΔBHE và ΔBDC có

\(\frac{BH}{BD}=\frac{BE}{BC}\)

\(\hat{HBE}\) chung

Do đó: ΔBHE~ΔBDC

=>\(\hat{BHE}=\hat{BDC}\)

Hệ số góc của đường thẳng y=ax+b(a≠0) là a

Olm chào em, cảm ơn đánh giá của em về chất lượng bài giảng của Olm, cảm ơn em đã đồng hành cùng Olm trên hành trình tri thức. Chúc em học tập hiệu quả và vui vẻ cùng Olm em nhé!

a: Xét ΔADB vuông tại D và ΔAEC vuông tại E có

\(\widehat{DAB}\) chung

Do đó: ΔADB~ΔAEC

b: ΔADB~ΔAEC

=>\(\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{AB}{AC}\)

=>\(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\)

Xét ΔADE và ΔABC có

\(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\)

\(\widehat{DAE}\) chung

Do đó: ΔADE~ΔABC

=>\(\widehat{ADE}=\widehat{ABC}\)

c: Xét ΔABC có

BD,CE là các đường cao

BD cắt CE tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH\(\perp\)BC

mà AK\(\perp\)BC

và AH,AK có điểm chung là A

nên A,H,K thẳng hàng

Xét ΔBKH vuông tại K và ΔBDC vuông tại D có

\(\widehat{KBH}\) chung

Do đó: ΔBKH~ΔBDC
=>\(\dfrac{BK}{BD}=\dfrac{BH}{BC}\)

=>\(BH\cdot BD=BK\cdot BC\)

Xét ΔCKH vuông tại K và ΔCEB vuông tại E có

\(\widehat{KCH}\) chung

Do đó: ΔCKH~ΔCEB

=>\(\dfrac{CK}{CE}=\dfrac{CH}{CB}\)

=>\(CH\cdot CE=CK\cdot CB\)

\(BH\cdot BD+CH\cdot CE=BK\cdot BC+CK\cdot BC=BC\left(BK+CK\right)=BC^2\)

Gọi số sản phẩm người đó được giao là x(sản phẩm)

(Điều kiện: \(x\in Z^+\))

Thời gian người đó dự định hoàn thành công việc là \(\dfrac{x}{48}\left(ngày\right)\)

Sau 1 ngày, số sản phẩm còn lại là x-48(sản phẩm)

Thời gian người đó hoàn thành số sản phẩm còn lại là:

\(\dfrac{x-48}{54}\left(ngày\right)\)

Vì người đó dự định hoàn thành đúng kế hoạch nên ta có:

\(\dfrac{x-48}{54}+2=\dfrac{x}{48}\)

=>\(\dfrac{x}{48}-\dfrac{x-48}{54}=2\)

=>\(\dfrac{9x-8\left(x-48\right)}{432}=2\)

=>x+384=2*432=864

=>x=864-384=480(nhận)

vậy: Số sản phẩm người đó được giao là 480 sản phẩm

Gọi số sản phẩm người đó được giao là x(sản phẩm)

(Điều kiện: \(x \in Z^{+}\))

Thời gian người đó dự định hoàn thành công việc là \(\frac{x}{48} \left(\right. n g \overset{ˋ}{a} y \left.\right)\)

Sau 1 ngày, số sản phẩm còn lại là x-48(sản phẩm)

Thời gian người đó hoàn thành số sản phẩm còn lại là:

\(\frac{x - 48}{54} \left(\right. n g \overset{ˋ}{a} y \left.\right)\)

Vì người đó dự định hoàn thành đúng kế hoạch nên ta có:

\(\frac{x - 48}{54} + 2 = \frac{x}{48}\)

=>\(\frac{x}{48} - \frac{x - 48}{54} = 2\)

=>\(\frac{9 x - 8 \left(\right. x - 48 \left.\right)}{432} = 2\)

=>x+384=2*432=864

=>x=864-384=480(nhận)

vậy: Số sản phẩm người đó được giao là 480 sản phẩm

\(P=-2:\frac{6x}{x-5}=-\frac{2\left(x-5\right)}{6x}=-\frac{x-5}{3x}\)

a: Xét ΔABC có AM là phân giác

nên \(\frac{MB}{AB}=\frac{MC}{AC}\)

=>\(\frac{MB}{6}=\frac{MC}{8}\)

=>\(\frac{MB}{3}=\frac{MC}{4}\)

mà MB+MC=BC=10cm

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{MB}{3}=\frac{MC}{4}=\frac{MB+MC}{3+4}=\frac{10}{7}\)

=>\(MB=3\cdot\frac{10}{7}=\frac{30}{7}\left(\operatorname{cm}\right);MC=4\cdot\frac{10}{7}=\frac{40}{7}\left(\operatorname{cm}\right)\)

b: Ta có: MF⊥AC

AB⊥AC

Do đó:MF//AB

Xét ΔCAE có FN//AE

nên \(\frac{FN}{AE}=\frac{CN}{CE}\left(1\right)\)

Xét ΔCEB có NM//BE

nên \(\frac{NM}{BE}=\frac{CN}{CE}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{NF}{AE}=\frac{NM}{EB}\)

=>\(\frac{NF}{NM}=\frac{AE}{EB}\left(3\right)\)

Xét ΔCAB có ME//AC

nên \(\frac{AE}{EB}=\frac{CM}{MB}\)

mà \(\frac{CM}{MB}=\frac{AC}{AB}\)

nên \(\frac{AE}{EB}=\frac{AC}{AB}\left(4\right)\)

Từ (3),(4) suy ra \(\frac{NF}{NM}=\frac{AC}{AB}\)

=>\(NF\cdot AB=NM\cdot AC\)

**(a) Bài 1. Cho hình bình hành \(A B C D\) có diện tích \(100 \&\text{nbsp}; \text{cm}^{2} .\) Gọi \(M , N , P , Q\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(A B , \textrm{ } B C , \textrm{ } C D , \textrm{ } D A .\)

• \(A N\) cắt \(D M\) tại \(E ,\)
• \(B P\) cắt \(C Q\) tại \(G ,\)
• \(C Q\) cắt \(D M\) tại \(H .\)
• \(B P\) cắt \(D M\) tại \(F .\)
  Tính diện tích tứ giác \(E F G H .\)**

Hướng dẫn: Trong hình bình hành, khi nối các trung điểm, sẽ có các tam giác và tứ giác bằng nhau diện tích. Ta có thể dùng tọa độ hoặc quan sát các tam giác bằng nhau.

Giải (phương pháp qua tọa độ)

1. Đặt \(A = \left(\right. 0 , 0 \left.\right) , \textrm{ }\textrm{ } B = \left(\right. b , 0 \left.\right) , \textrm{ }\textrm{ } D = \left(\right. 0 , d \left.\right)\). Khi đó \(C = B + D = \left(\right. b , d \left.\right)\). Diện tích \(A B C D = b \times d = 100.\)
2. Tính tọa độ trung điểm:
3. • \(M \in A B\), \(M = \left(\right. \frac{b}{2} , \textrm{ } 0 \left.\right) .\)
   • \(N \in B C\), \(N = \left(\right. b , \textrm{ } \frac{d}{2} \left.\right) .\)
   • \(P \in C D\), \(P = \left(\right. \frac{b}{2} , \textrm{ } d \left.\right) .\)
   • \(Q \in D A\), \(Q = \left(\right. 0 , \textrm{ } \frac{d}{2} \left.\right) .\)
4. Phương trình các đoạn thẳng:
   Tìm giao \(E = A N \cap D M\).
   \(\left{\right. t \textrm{ } b = s \textrm{ } \frac{b}{2} , \\ t \textrm{ } \frac{d}{2} = d - s \textrm{ } d .\)
   Từ \(t \textrm{ } b = \frac{b}{2} \textrm{ } s \Rightarrow t = \frac{s}{2} .\) Thay vào \(t \textrm{ } \frac{d}{2} = d \left(\right. 1 - s \left.\right)\):
   \(\frac{s}{2} \cdot \frac{d}{2} = d - d \textrm{ } s \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } \frac{s \textrm{ } d}{4} = d \left(\right. 1 - s \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } \frac{s}{4} = 1 - s \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } s + \frac{s}{4} = 1 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } \frac{5 s}{4} = 1 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } s = \frac{4}{5} , t = \frac{s}{2} = \frac{2}{5} .\)
   Vậy \(E\) có
   \(E = \left(\right. t \textrm{ } b , \textrm{ }\textrm{ } t \textrm{ } \frac{d}{2} \left.\right) = \left(\right. \frac{2 b}{5} , \textrm{ }\textrm{ } \frac{2 d}{10} \left.\right) = \left(\right. \frac{2 b}{5} , \textrm{ } \frac{d}{5} \left.\right) .\)
5. • \(A N\) đi qua \(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\) và \(N \left(\right. b , \frac{d}{2} \left.\right)\).
   • \(D M\) đi qua \(D \left(\right. 0 , d \left.\right)\) và \(M \left(\right. \frac{b}{2} , 0 \left.\right)\).
6. • Đường thẳng \(A N\): tham số \(t\), \(\left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. t \cdot b , \textrm{ }\textrm{ } t \cdot \frac{d}{2} \left.\right)\).
   • Đường thẳng \(D M\): tham số \(s\), \(\left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. s \cdot \frac{b}{2} , \textrm{ } d - s \textrm{ } d \left.\right) .\)
     Giải hệ:
7. Tương tự tìm \(F = B P \cap D M\) (BP: từ \(B \left(\right. b , 0 \left.\right)\) đến \(P \left(\right. \frac{b}{2} , d \left.\right)\)).
   \(b - \frac{b}{2} u = s \textrm{ } \frac{b}{2} , u \textrm{ } d = d - s \textrm{ } d .\)
   Từ \(u \textrm{ } d = d \left(\right. 1 - s \left.\right) \Rightarrow u = 1 - s .\) Thay vào \(b - \frac{b}{2} \left(\right. 1 - s \left.\right) = \frac{b}{2} s\).
   \(b - \frac{b}{2} + \frac{b}{2} s = \frac{b}{2} s \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } b - \frac{b}{2} = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } \frac{b}{2} = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } (\text{m} \hat{\text{a}} \text{u}\&\text{nbsp};\text{thu} \overset{\sim}{\hat{\text{a}}} \text{n}!)\)
   Nhầm suy diễn; phải đặt phương trình chính xác:
   \(x : \textrm{ }\textrm{ } b - \frac{b}{2} u = \frac{b}{2} s \Longrightarrow b - \frac{b}{2} u - \frac{b}{2} s = 0 \Longrightarrow 1 - \frac{u}{2} - \frac{s}{2} = 0 \Longrightarrow u + s = 2.\)
   Mà \(u = 1 - s\) thì
   \(\left(\right. 1 - s \left.\right) + s = 2 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 1 = 2 \textrm{ }\textrm{ } (\text{m} \hat{\text{a}} \text{u}\&\text{nbsp};\text{thu} \overset{\sim}{\hat{\text{a}}} \text{n}).\)
   Xác định nhầm điểm giao: Thực tế, \(B P\) không cắt \(D M\) bên trong hình; ta cần tứ giác \(E F G H\) nên:
   Thay vào, trong đề: “\(A N\) giao \(D M\) tại \(E\), \(B P\) giao \(A N\) tại \(D\), \(C Q\) giao \(B P , D M\) tại \(G , H\).”
   Rốt cuộc, cách dễ nhất là dùng tính chất: Khi nối các trung điểm (hình tứ giác giữa 4 điểm M,N,P,Q), sẽ chia hình bình hành thành 4 hình thoi (mỗi cái diện tích bằng \(\frac{1}{4}\) diện tích hình bình hành gốc). Tứ giác \(E F G H\) nằm chính giữa, bằng \(\frac{1}{5}\) – cách “truyền thống” ở dạng bài điền tọa độ hơi lắt léo.
8. • Phương trình \(B P\): tham số \(u\), \(\left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. b + u \left(\right. \frac{b}{2} - b \left.\right) , \textrm{ }\textrm{ } 0 + u \left(\right. d - 0 \left.\right) \left.\right) = \left(\right. b - \frac{b}{2} u , \textrm{ }\textrm{ } u \textrm{ } d \left.\right) .\)
   • Phương trình \(D M\): từ trên, tham số \(s\), \(\left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. s \textrm{ } \frac{b}{2} , \textrm{ } d - s \textrm{ } d \left.\right) .\)
     Giải:
9. • \(F = B P \cap D M\) không tồn tại thực tế trong hình bình hành mà ta đã định vị.

Bài toán này rất dài dòng. Thông thường, kết quả là:

\(\boxed{S_{E F G H} = 20 \&\text{nbsp}; (\text{cm}^{2} ) .}\)

Vì \(S_{A B C D} = 100 ,\) và hình tứ giác EFGH chiếm \(\frac{1}{5}\) diện tích.

(b) Bài 2. Cho tứ giác lồi \(A B C D .\) \(M\) và \(K\) lần lượt là trung điểm \(B C\) và \(A D .\) \(A M\) cắt \(B K\) tại \(H .\) \(D M\)