a) \(25-x^2+\left(x+5\right)\left(2x+1\right)\)

\(=\left(5-x\right)\left(5+x\right)+\left(x+5\right)\left(2x+1\right)\)

\(=\left(x+5\right)\left(5-x+2x+1\right)\)

\(=\left(x+5\right)\left(x+4\right)\)

b) \(x^2-2x-24\)

\(=x^2-2x+1-25\)

\(=\left(x-1\right)^2-25\)

\(=\left(x-1-5\right)\left(x-1+5\right)\)

\(=\left(x-6\right)\left(x+4\right)\)

GIẢI

 Giả sử : \(a\ge b\ge c>0\) thì \(a+b\ge a+c\ge b+c\)

 Ta có : \(\frac{a}{b+c}=\frac{a}{b+c}\)

          \(\frac{b}{c+a}\le\frac{b}{b+c}\)

           \(\frac{c}{a+b}\le\frac{c}{b+c}\)

Cộng vế theo vế ta được :
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{c+b}\le\frac{a+b+c}{b+c}\)

Hay : \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{c+b}\le\frac{a}{b+c}+1< 1+1=2\)

Vậy \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{c+b}< 2\)

Chúc bạn học tốt !!!

GIẢI

 Giả sử : a\ge b\ge c&gt;0a≥b≥c>0 thì a+b\ge a+c\ge b+ca+b≥a+c≥b+c

 Ta có : \frac{a}{b+c}=\frac{a}{b+c}b+ca​=b+ca​

          \frac{b}{c+a}\le\frac{b}{b+c}c+ab​≤b+cb​

           \frac{c}{a+b}\le\frac{c}{b+c}a+bc​≤b+cc​

Cộng vế theo vế ta được :
\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{c+b}\le\frac{a+b+c}{b+c}b+ca​+c+ab​+c+bc​≤b+ca+b+c​

Hay : \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{c+b}\le\frac{a}{b+c}+1&lt; 1+1=2b+ca​+c+ab​+c+bc​≤b+ca​+1<1+1=2

Vậy \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{c+b}&lt; 2b+ca​+c+ab​+c+bc​<2

Vì a , b > 0 \(\Rightarrow a^3+b^3>a^3>a^3-b^3\) theo giả thiết ta có :

\(a-b>a^3-b^3\Leftrightarrow\left(a-b\right)>\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\)

                                     \(\Leftrightarrow1>a^2+ab+b^2>a^2+b^2\)

                                       \(\Leftrightarrow1>a^2+b^2\left(đpcm\right)\)

     Chúc bạn học tốt !!!

giải

Vì a , b > 0 \Rightarrow a^3+b^3&gt;a^3&gt;a^3-b^3⇒a3+b3>a3>a3−b3 theo giả thiết ta có :

a-b&gt;a^3-b^3\Leftrightarrow\left(a-b\right)&gt;\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)a−b>a3−b3⇔(a−b)>(a−b)(a2+ab+b2)

                                     \Leftrightarrow1&gt;a^2+ab+b^2&gt;a^2+b^2⇔1>a2+ab+b2>a2+b2

                                       \Leftrightarrow1&gt;a^2+b^2\left(đpcm\right)⇔1>a2+b2(đpcm)

Áp dụng BĐT AM-GM cho 2 số dương, ta có:

\(\left(b+3c\right)+4\ge2\sqrt{4\left(b+3c\right)}=4\sqrt{b+3c}\\ \)

\(\Rightarrow\sqrt{b+3c}\le\frac{b+3c+4}{4}\)

\(\Rightarrow a\sqrt{b+3c}\le\frac{ab+3ac+4a}{4}\)

Tương tự ta có \(b\sqrt{c+3a}\le\frac{bc+3ab+4b}{4}\)

\(c\sqrt{a+3b}\le\frac{ac+3bc+4c}{4}\)

\(\Rightarrow a\sqrt{b+3c}+b\sqrt{c+3a}+c\sqrt{a+3b}\le\)\(\frac{4\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)}{4}\)\(=\frac{4\left(ab+bc+ac\right)+12}{4}\)

Ta có bổ đề:3(ab+bc=ca) \(\le\)(a+b+c)^2 => 3(ab+bc+ca) \(\le9\)=> \(\text{(ab+bc+ca)}\le3\)

=>\(a\sqrt{b+3c}+b\sqrt{c+3a}+c\sqrt{a+3b}\le\)\(\frac{4.3+12}{4}=6\left(đpcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra <=>a=b=c=1

Dùng điểm rơi a=b=1

Gọi M là biểu thức đầu bài ta có

\(M=\frac{3}{2}\sqrt{\left(3a+1\right).4}+\sqrt{\left(3b+1\right).4}\le\frac{3}{4}\left(3a+5\right)+\frac{1}{2}\left(3b+5\right)\)

\(=\frac{9a+6b}{4}+\frac{25}{4}=\frac{15}{4}+\frac{25}{4}=10\)