a) \(\Delta ABE,\Delta ACF\) có \(\widehat{A}\) chung và \(\widehat{AEB}=\widehat{AFC}\left(=90^o\right)\) nên suy ra \(\Delta ABE~\Delta ACF\left(g.g\right)\) \(\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AE}{AF}\Rightarrow AB.AF=AC.AE\).

b) Từ \(AB.AF=AC.AE\Rightarrow\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\). Từ đó suy ra \(\Delta AEF~\Delta ABC\left(c.g.c\right)\) \(\Rightarrow\widehat{AFE}=\widehat{ACB}\)

c) Xét tam giác AEF có \(C\in AE,B\in AF,K\in EF\) và \(K,B,C\) thẳng hàng nên áp dụng định lý Menelaus, ta có \(\dfrac{KF}{KE}.\dfrac{CE}{CA}.\dfrac{BA}{BF}=1\)  (1).

 Mặt khác, cũng trong tam giác AEF, có \(C\in AE,B\in AF,I\in EF\) và AI, EB, FC đồng quy nên theo định lý Ceva, \(\dfrac{IF}{IE}.\dfrac{CE}{CA}.\dfrac{BA}{BF}=1\)   (2).

Từ (1) và (2), suy ra \(\dfrac{KF}{KE}=\dfrac{IF}{IE}\Leftrightarrow KF.IE=KE.IF\)

\(\dfrac{ }{ }\)

\(AB^2=AH^2+BH^2\Rightarrow AH^2=AB^2-BH^2\left(1\right)\left(Pitago\right)\)

\(AC^2=AH^2+CH^2\Rightarrow AH^2=AC^2-CH^2\left(2\right)\left(Pitago\right)\)

\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow AC^2-CH^2=AB^2-BH^2\)

\(\Rightarrow AB^2+CH^2=AC^2+BH^2\)

\(\Rightarrow dpcm\)

 Ta có \(AB^2-AC^2=\left(BH^2+AH^2\right)-\left(CH^2+AH^2\right)\) \(=BH^2-CH^2\) \(\Rightarrow AB^2+CH^2=AC^2+BH^2\), đpcm.

 (Bài này kết quả vẫn đúng nếu không có điều kiện tam giác ABC vuông tại A.)

Bài 88: Gọi độ dài của cạnh tam giác vuông cân là: a (cm)  a > 0

             Theo pytago ta có: a² + a² = 2² 

                                             2a²       = 4

                                                a²       =   2

                                               \(\left[{}\begin{matrix}a=\sqrt{2}\\a=-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

                                              vì a > 0  nên a = - \(\sqrt{2}\) (loại)

Độ dài cạnh góc vuông của tam giác vuông cân là \(\sqrt{2}\) cm

b, a² + a² = (\(\sqrt{2}\))²

    2a²       =     2

      a²       =      1

       \(\left[{}\begin{matrix}a=1\\a=-1\end{matrix}\right.\)

Vì a > 0 nên a = - 1 loại

Vậy cạnh góc vuông của tam giác vuông cân là 1 cm

a) (2x - 5)² - (5 + 2x) = 0

<=> 4x² - 22x + 20 = 0 

\(\Leftrightarrow\left(2x-\dfrac{11}{2}\right)^2=\dfrac{41}{4}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pm\sqrt{41}+11}{4}\)

b) \(27x^3-54x^2+36x=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(3x^2-6x+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=0\) (Vì \(3x^2-6x+4=3\left(x-1\right)^2+1>0\forall x\))

c) x³ + 8 - (x + 2).(x - 4) = 0

\(\Leftrightarrow\left(x+2\right).\left(x^2-2x+4\right)-\left(x+2\right)\left(x-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(x^2-3x+8\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=-2\) (Vì \(x^2-3x+8=\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{23}{4}>0\))

d) \(x^6-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2\right)^3-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(x^4+x^2+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-1=0\) (Vì \(x^4+x^2+1>0\))

\(\Leftrightarrow x=\pm1\)

\(d,x^6-1=0\\ \Leftrightarrow\left(x^2\right)^3-1^3=0\\ \Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(x^4+x^2+1\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^4+x^2+1\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\x+1=0\\x^4+x^2+1=0\left(Vô.lí,vì:x^4\ge0;x^2\ge0,\forall x\in R\right)\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-1\end{matrix}\right.\\ c,\left(x^3+8\right)-\left(x+2\right)\left(x-4\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(x^3+8\right)-\left(x^2-2x-8\right)=0\\ \Leftrightarrow x^3-x^2+2x+16=0\\ \Leftrightarrow x^3+2x^2-3x^2-6x+8x+16=0\\ \Leftrightarrow x^2\left(x+2\right)-3x\left(x+2\right)+8\left(x+2\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(x^2-3x+8\right)\left(x+2\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-3x+8=0\left(Vô.lí\right)\\x+2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=-2\)

Ta có :

\(AH^2=AB^2+BH^2\left(1\right)\) (Δ ABH vuông tại H)

\(AH^2=AC^2+CH^2\left(2\right)\) (Δ ACH vuông tại H)

\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow AB^2+BH^2=AC^2+CH^2\)

\(\Rightarrow CH^2=AB^2+BH^2-AC^2\)

\(\Rightarrow CH^2=81+676-121=636\)

\(\Rightarrow CH=\sqrt[]{636}=\sqrt[]{4.159}=2\sqrt[]{159}\left(cm\right)\)

Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên AH \(\perp\) BC \(\equiv\) H

⇒ \(\Delta\) AHB  \(\perp\)  \(\equiv\) H \(\Rightarrow\) AB > BH ⇒  9 cm > 26 cm vô lý

Em có hai sựa lựa chọn: 1 là em chỉ ra cái sai của cô

                                         2 là em xem lại đề bài của em 

\(AH^2=BH.CH=18.32=576\Rightarrow AH=24\left(cm\right)\)

\(AB^2=AH^2+BH^2=576+324=900\) (Δ ABH vuông tại H)

\(\Rightarrow AB=30\left(cm\right)\)

\(AC^2=AH^2+CH^2=576+1024=1600\) (Δ ACH vuông tại H)

\(\Rightarrow AC=40\left(cm\right)\)

Xét tam giác AHB vuông tại H có:

AH²+HB²=AB²(định lý pythagore) (1)

Xét tam giác AHC vuông tại H có:

HA²+HC²=AC² (định lý pythagore) (2) 

Từ (1) và (2) ta cộng lại vế theo vế, có:

2AH²+BH²+CH²=AB²+AC²

<=>2AH²+BH²+CH²=BC²

<=> 2AH²+18²+32²=(18+32)²

<=>2AH²+1348=2500

<=>2AH²=2500-1348

<=>2AH²=1152

<=>AH²=1152:2

<=>AH²=576

<=>AH=\(\sqrt{576}\)

<=>AH=24(cm)

-Ta thay AH=24cm vào (1) ta có:

HB²+AH²=AB²

<=>18²+24²=AB²

<=>900=AB²

<=>\(AB=\sqrt{900}=30\)(cm)

-Ta thay AH=24cm vào (2) ta có:

HC²+HA²=AC²

<=>32²+24²=AC²

<=>1600=AC²

\(\Leftrightarrow AC=\sqrt{1600}=40\left(cm\right)\)

Vậy AB=30cm; AC=40cm

Hình a, b, c là tứ giác lồi

* Hình a:

- Các cạnh: AB, BC, CD, AD

- Các đỉnh: A, B, C, D

- Các góc: \(\widehat{ABC},\widehat{BCD},\widehat{CDA},\widehat{DAB}\)

* Hình b:

- Các cạnh: EF, FG, GH, HE

- Các đỉnh: E, F, G, H

- Các góc: \(\widehat{HEF},\widehat{EFG},\widehat{FGH},\widehat{GHE}\)

* Hình c:

- Các cạnh: \(IJ,JK,KL,LI\)

- Các đỉnh: \(I,J,K,L\)

- Các góc: \(\widehat{LIJ},\widehat{IJK},\widehat{JKL},\widehat{KLI}\)

Tứ giác lồi  ABCD có 4 canh: AB,BC,CD,DA và 4 đỉnh: A,B,C,D và 4 góc \(\widehat{A},\widehat{B},\widehat{C},\widehat{D}\)

Tứ giác lồi EFGH có 4 canh: EF, FG, GH, HE và 4 đỉnh: E,F,G,H và 4 góc \(\widehat{E},\widehat{F},\widehat{G},\widehat{H}\)

Tứ giác lồi IJKL có 4 canh: IJ, JK, KL, LI và 4 đỉnh I,J,K,L và 4 góc \(\widehat{I},\widehat{J},\widehat{K},\widehat{L}\)

Hình 4 là ngũ giác và hình 5 là tam giác

E = - \(x^2\) + 2\(x\) - 1                                           

E = - (\(x^2\) - 2\(x\) + 1)

E = - (\(x\) - 1)²

(\(x\) - 1) ≥ 0 ⇒ - (\(x\) - 1)² ≤ 0

E_max = 0 ⇔ \(x\) = 1

Để tìm các điểm tới hạn của hàm E, chúng ta cần tìm các giá trị của x tại đó đạo hàm của E bằng 0.

Lấy đạo hàm của E theo x, ta được:

E' = -2x + 2

Đặt E' bằng 0 và tìm x:

-2x + 2 = 0
-2x = -2
x = 1

Vậy điểm tới hạn của E là x=1.

Để tìm các điểm tới hạn của hàm C, chúng ta cần tìm các giá trị của x tại đó đạo hàm của C bằng 0.

Lấy đạo hàm của C theo x, ta được:

C' = (2x)(3x-10)(3x-16) + (x^2-1)(3)(3x-10) + (x^2-1)(3)(3x-16)

Đặt C' bằng 0 và giải tìm x:

(2x)(3x-10)(3x-16) + (x^2-1)(3)(3x-10) + (x^2-1)(3)(3x-16) = 0

Phương trình này khá phức tạp và không có nghiệm đơn giản. Nó sẽ yêu cầu thao tác đại số hơn nữa hoặc các phương pháp số để tìm các điểm tới hạn của C.