Các điều kiện xác định hợp lại sẽ là \(\left\{{}\begin{matrix}2\le x\le4\\0\le y\le2\end{matrix}\right.\)

Ta có \(8\sqrt{xy-2y}-8y+4\) \(=8\sqrt{y\left(x-2\right)}-8y+4\) \(\le4\left(y+x-2\right)-8y+4\) (BĐT AM-GM) \(=4\left(x-y\right)-4\)

Do vậy, \(\left(x-y\right)^2=8\sqrt{xy-2y}-8y+4\le4\left(x-y\right)-4\) \(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2-4\left(x-y\right)+4\le0\) \(\Leftrightarrow\left(x-y-2\right)^2\le0\) \(\Leftrightarrow x-y-2=0\) \(\Leftrightarrow y=x-2\), điều này cũng thỏa mãn ĐTXR của BĐT \(8\sqrt{y\left(x-2\right)}=4\left(y+x-2\right)\). Do đó, pt đầu tiên của hệ \(\Leftrightarrow y=x-2\) hay \(x=y+2\)

Thay vào pt thứ 2 của hệ, ta có 

\(2\sqrt{2y-y^2}\left(\sqrt{4-2y}-2\sqrt{2y}+1\right)=4y+5\sqrt{2-y}-10\sqrt{y}\)

\(\Leftrightarrow\left(4-2y\right)\sqrt{2y}-4y\sqrt{4-2y}+2\sqrt{y\left(2-y\right)}=4y+5\sqrt{2-y}-10\sqrt{y}\)

 Mình mới làm được đến đây thôi. Mình phải đi ngủ rồi, thế nên mai mình suy nghĩ tiếp nhé.

A = \(\dfrac{x+3}{\sqrt{x}+1}\); \(x\) = 9 - 4\(\sqrt{2}\) 

Thay \(x\) = 9 - 4\(\sqrt{2}\) vào  biểu thức A = \(\dfrac{x+3}{\sqrt{x}+1}\) ta có:

A = \(\dfrac{9-4\sqrt{2}+3}{\sqrt{9-4\sqrt{2}}+1}\)  = \(\dfrac{12-4\sqrt{2}}{\sqrt{8-4\sqrt{2}+1}+1}\) 

A = \(\dfrac{12-4\sqrt{2}}{\sqrt{\left(2\sqrt{2}-1\right)^2}+1}\) = \(\dfrac{12-4\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-1+1}\)

A = \(\dfrac{12-4\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}\) = \(\dfrac{2\sqrt{2}\left(3\sqrt{2}-2\right)}{2\sqrt{2}}\)

A = 3\(\sqrt{2}\) - 2 

gọi số thỏa mãn đề bài là \(x^2\) ( \(x\) \(\in\) N) Theo bài ra ta có:

236 ≤ \(x^2\) ≤ 335 ⇒ 15,3 \(\le\) \(x\)  \(\le\) 18,3

⇒ \(x\) \(\in\) { 16; 17}

Vậy số chính phương có trong dãy số 236 đến 335 là:

16² và 17²

Bạn nên có bài cụ thể thì mọi người sẽ hướng dẫn được. Tách thì cũng phải dựa vào điều kiện. 

Gọi P là 1 giá trị của biểu thức trên.

Ta có \(P=\dfrac{ax+b}{x^2+1}\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)P-\left(ax+b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow Px^2-ax+P-b=0\left(1\right)\)

Vì giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất đều khác 0, nên \(P\ne0\)

Để P tồn tại thì phương trình (1) phải có nghiệm hay \(\Delta_{\left(1\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(-a\right)^2-4P\left(P-b\right)\ge0\Leftrightarrow4P^2-4Pb-a^2\le0\left(2\right)\)

Gọi \(P_1,P_2\left(P_1< P_2\right)\) là 2 nghiệm của phương trình \(4P^2-4Pb-a^2=0\left(3\right)\)

Khi đó phương trình (2) có nghiệm \(P_1\le P\le P_2\) nên P đạt Min tại giá trị \(P_1\), đạt Max tại giá trị \(P_2\).

Do đó, yêu cầu của bài toán chỉ thỏa mãn khi và chỉ khi phương trình (3) có 2 nghiệm -1 và 4, tức: \(\left\{{}\begin{matrix}4+4b-a^2=0\\64-16b-a^2=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=3\\a^2=16\end{matrix}\right.\) hay \(\left\{{}\begin{matrix}b=3\\a=\pm4\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}a=4\\b=3\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}a=-4\\b=3\end{matrix}\right.\)

b) Xét phương trình 2 có 
(1-x² )/(1+xy)² - (x+y)²    - y² =1
=>(1-x²)/1+2xy+x²y²-x²-2xy-y²   -y²=1
=>(1-x²) /(1-x² )-y²(1-x²)       -y² =1
=>(1-x²)/(1-x²)(1-y²)       -y²=1
=>1/(1-y²)    -y²=1
=>1=(1-y²)²
=>1=1-2y²+y4
=>y⁴-2y²=0
=>y²(y²-2)=0
=>y=0
y²-2=0
=> y=+√2
=> y=-√2
 Thay y vào phương trình 1 là ra x 

à nhầm ... sửa lại dòng 6 
=> 1/(1-y²) - y²=1
=> 1/(1-y²)=1+y²
=> 1=1-y⁴
=> y=0
=>x=3
=> x=-3
 

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz và AM-GM:

$M=\frac{b^2+c^2}{a^2}+a^2(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})$

$\geq \frac{b^2+c^2}{a^2}+a^2.\frac{4}{b^2+c^2}$

$=(\frac{b^2+c^2}{a^2}+\frac{a^2}{b^2+c^2})+\frac{3a^2}{b^2+c^2}$

$\geq \sqrt{\frac{b^2+c^2}{a^2}.\frac{a^2}{b^2+c^2}}+\frac{3(b^2+c^2)}{b^2+c^2}$

$=2+3=5$

Vậy $M_{\min}=5$ 

Với mọi $a,b\in Z^{+}$ ta có: ${\left(a+b\right)}^2\le 2\left(a^2+b^2\right)$ $\iff n^4\le 2\left(n^3+2\right)$

 $\iff n^4-2n^3-4\le 0\iff n^3\left(n-2\right)-4\le 0(\ast )$

+) Nếu $n\ge 3$ thì $n^3\left(n-2\right)-4\ge n^3-4>0$ (mâu thuẫn với (*))

$\Rightarrow n\in \left\{0;1;2\right\}$

+) Với $n=0\Rightarrow \{\begin{array}{c}a+b=0\\ a^2+b^2=2\end{array}\Rightarrow$ không tồn tại $a,b\in Z^{+}$ thỏa mãn hệ phương trình.

+) Với $n=1\Rightarrow \{\begin{array}{c}a+b=1\\ a^2+b^2=3\end{array}\Rightarrow$ không tồn tại $a,b\in Z^{+}$ thỏa mãn hệ phương trình.

+) Với $n=2\Rightarrow \{\begin{array}{c}a+b=4\\ a^2+b^2=10\end{array}\iff \{\begin{array}{c}a+b=4\\ {\left(a+b\right)}^2-2ab=10\end{array}\iff \{\begin{array}{c}a+b=4\\ ab=3\end{array}$

Khi đó ta có hai số $a,b$ là nghiệm của phương trình: $x^2-4x+3=0\iff [\begin{array}{c}x=1\\ x=3\end{array}$

$\Rightarrow \left(a;b\right)\in \left\{\left(1;3\right);\left(3;1\right)\right\}.$

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là: $\left(n;a;b\right)\in \left\{\left(2;1;3\right);\left(2;3;1\right)\right\}$

nếu đúng cho mình xin 1 tick nhé!!!!