60, 72, 24 ⋮ x mà x là lớn nhất nên x là ước chung lớn nhất của 

60, 72 , 24

60 = 2².3.5

72  = 2³.3²

24 = 2³.3

ƯCL N(60, 72, 24) = 2².3 = 12

x = 12

126 , 210 chia hết cho x nên x là ước chung của 126 và 210 

126 = 2x3²x7 

210 = 2.3.5.7

ƯC(210,126) ={ 1; 2; 3; 6; 7;14; 21; 42}

vì 15 < x < 30

nên x  = 21

Lời giải:
a.

$32^{10}=(2^5)^{10}=2^{50}$

$8^{16}=(2^3)^{16}=2^{3.16}=2^{48}$

Vì $2^{50}> 2^{48}$ nên $32^{10}> 8^{16}$

b.

\(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+....+\frac{1}{x(x+1)}=\frac{-19}{20}\)

\(\frac{2-1}{1.2}+\frac{3-2}{2.3}+...+\frac{x+1-x}{x(x+1)}=\frac{-19}{20}\)

\(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}=\frac{-19}{20}\)

\(1-\frac{1}{x+1}=\frac{-19}{20}\)

\(\frac{x}{x+1}=\frac{-19}{20}\)

Khả năng $\frac{-19}{20}$ là $\frac{19}{20}$. Khi đó $x=19$.

18 = 2.3² 

Ư(18) = { 1; 2; 3; 6; 9; 18}

B(4) = { 0; 4; 8; 12; 16; 20;...;}

x ϵ \(\varnothing\)

6 ⋮ x-1

⇔ x - 1 ϵƯ(6) ={ -6; -3; -2; -1; 1;2 ;3 ;6}

        x ϵ { -5; -2; -1; 0; 2; 3; 4; 7}

(x - 2)¹⁵ = 1

(x - 2)¹⁵ = 1¹⁵

x - 2 = 1

x = 1 + 2

x = 3 

Lời giải:
$n^2-n=n(n-1)$

Vì $n, n-1$ là 2 số nguyên liên tiếp nên luôn có 1 số chẵn và 1 số lẻ

Do đó $n^2-n=n(n-1)\vdots 2$

n²-n = n(n-1) vì đây là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên chắc chắn sẽ có 1 số là số lẻ, 1 số là số chẵn mà số chẵn thì luôn chia hết cho 2 vậy 

n(n-1) ⋮ 2 ⇔ n²-n ⋮ 2 (đpcm)

gọi ước chung lớn nhất của n+4; n+5  là k ta có:

    \(\left\{{}\begin{matrix}n+4⋮k\\n+5⋮k\end{matrix}\right.\)

⇔ n+5 - n - 4 ⋮ k ⇔ 1 ⋮ k 

⇔(n+4;n+5) = 1

hay n + 4 và n + 5 là hai số nguyên tố cùng nhau

b, gọi ước chung lớn nhất của 2n + 1 và 3n + 1 là k 

ta có \(\left\{{}\begin{matrix}2n+1⋮k\\3n+1⋮k\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}6n+3⋮k\\6n+2⋮k\end{matrix}\right.\)

⇔ 6n + 3 - 6n - 2 ⋮ k

⇔1 ⋮ k 

⇔(2n+1; 3n +1)=1

hay 2n + 1 và 3n + 1 là hai số nguyên tố cùng nhau

c, gọi ước chung lớn nhất của 2n + 5 và n + 2 là k ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}2n+5⋮k\\n+2⋮k\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}2n+5⋮k\\2n+4⋮k\end{matrix}\right.\) 

⇔ 2n + 5 - 2n - 4 ⋮ k

⇔ 1 ⋮ k

⇔ (2n+ 5 ,n+2)=1

hay 2n + 5 và n + 2 là hai số nguyên tố cùng nhau

d, gọi ước chung của n+2; 3n + 7 là k

ta có \(\left\{{}\begin{matrix}n+2⋮k\\3n+7⋮k\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}3n+6⋮k\\3n+7⋮k\end{matrix}\right.\)

⇔ 3n+7 - 3n -6 ⋮ k

⇔ 1 ⋮ k

⇔(n+2, 3n+7)=1

hay n +2 và 2n + 7 là các số nguyên tố cùng nhau