a: \(\lim\limits_{x\rightarrow-1}\dfrac{x^3+1}{x+1}=\lim\limits_{x\rightarrow-1}\dfrac{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}{x+1}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow-1}x^2-x+1=\left(-1\right)^2-\left(-1\right)+1=2+1=3\)

b: \(\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{\sqrt{x}-1}{x^3+2x-3}=\dfrac{\sqrt{2}-1}{2^3+2\cdot2-3}=\dfrac{1}{9}\)

c:

\(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{x^2-1}{x^3-1}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{x+1}{x^2+x+1}=\dfrac{1+1}{1+1+1}=\dfrac{2}{3}\)

d:

\(\lim\limits_{x\rightarrow4}\dfrac{3-\sqrt{5+x}}{1-\sqrt{5-x}}=\lim\limits_{x\rightarrow4}\dfrac{\sqrt{x+5}-3}{\sqrt{5-x}-1}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow4}\dfrac{x+5-9}{\sqrt{x+5}+3}:\dfrac{5-x-1}{\sqrt{5-x}+1}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow4}\dfrac{x-4}{\sqrt{x+5}+3}\cdot\dfrac{\sqrt{5-x}+1}{-\left(x-4\right)}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow4}\dfrac{-\sqrt{5-x}-1}{\sqrt{x+5}+3}=\dfrac{-\sqrt{5-4}-1}{\sqrt{4+5}+3}\)

\(=\dfrac{-1-1}{3+3}=\dfrac{-2}{6}=-\dfrac{1}{3}\)

e:

\(\lim\limits_{x\rightarrow-1}\dfrac{\sqrt{2x+3}-1}{\sqrt{x+5}-2}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow-1}\dfrac{2x+3-1}{\sqrt{2x+3}+1}:\dfrac{x+5-4}{\sqrt{x+5}+2}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow-1}\dfrac{2\left(x+1\right)}{\sqrt{2x+3}+1}\cdot\dfrac{\sqrt{x+5}+2}{x+1}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow-1}\dfrac{2\left(\sqrt{x+5}+2\right)}{\sqrt{2x+3}+1}\)

\(=\dfrac{2\left(\sqrt{5-1}+2\right)}{\sqrt{-2+3}+1}=\dfrac{2\left(2+2\right)}{1+1}=4\)

g: \(\lim\limits_{x\rightarrow0^-}\dfrac{1}{x}=-\infty;\lim\limits_{x\rightarrow0^-}2x^2+1=1>0\)

=>\(\lim\limits_{x\rightarrow0^-}\dfrac{2x^2+1}{x}=-\infty\)

a: Xét ΔSBD có

M,N lần lượt là trung điểm của SB,SD

=>MN là đường trung bình

=>MN//BD

BD//MN

\(MN\subset\left(AMN\right)\)

BD không thuộc mp(AMN)

Do đó: BD//(AMN)

b: Gọi O là giao điểm của AC và BD

\(O\in AC\subset\left(SAC\right)\)

\(O\in BD\subset\left(SBD\right)\)

Do đó: \(O\in\left(SAC\right)\cap\left(SBD\right)\)

mà \(S\in\left(SAC\right)\cap\left(SBD\right)\)

nên \(\left(SAC\right)\cap\left(SBD\right)=SO\)

Chọn mp(SBD) có chứa MN

(SBD) giao (SAC)=SO(cmt)

Gọi K là giao điểm của SO với MN

=>K là giao điểm của MN với mp(SAC)

Lời giải:

Với $x\to -\infty$ thì $3x^2-5x=x^2(3-\frac{5}{x})\to +\infty$ do $x^2\to +\infty$ và $3-\frac{5}{x}\to 3 >0$

$\Rightarrow \lim\limits_{x\to -\infty}\sqrt{3x^2-5x}=+\infty$

Xét tg ABC có

\(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\left(gt\right)\) => MN//BC (Talet đảo trong tg)

Mà \(MN\in\left(DMN\right)\)

=> BC//(DMN)

\(u_n=\dfrac{1}{1\cdot2}+\dfrac{1}{2\cdot3}+...+\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}\)

\(=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\)

\(=1-\dfrac{1}{n+1}< 1\)

=>Hàm số bị chặn trên tại \(u_n=1\)

\(n+1>=1\)

=>\(\dfrac{1}{n+1}< =1\)

=>\(-\dfrac{1}{n+1}>=-1\)

=>\(1-\dfrac{1}{n+1}>=-1+1=0\)

=>Hàm số bị chặn dưới tại 0

\(u_n=1-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{n+1-1}{n+1}=\dfrac{n}{n+1}\)

\(\dfrac{u_n}{u_{n+1}}=\dfrac{n}{n+1}:\dfrac{n+1}{n+2}=\dfrac{n^2+2n}{n^2+2n+1}< 1\)

=>(un) là dãy số tăng

d: ĐKXĐ: \(3x< >k\Omega\)

=>\(x< >\dfrac{k\Omega}{3}\)

\(cot^23x-cot3x-2=0\)

=>\(cot^23x-2cot3x+cot3x-2=0\)

=>\(\left(cot3x-2\right)\left(cot3x+1\right)=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}cot3x-2=0\\cot3x+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cot3x=2\\cot3x=-1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}3x=arccot\left(2\right)+k\Omega\\3x=-\dfrac{\Omega}{4}+k\Omega\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{3}\cdot arccot\left(2\right)+\dfrac{k\Omega}{3}\\x=-\dfrac{\Omega}{12}+\dfrac{k\Omega}{3}\end{matrix}\right.\)

Đặt \(f\left(x\right)=2x^3-10x-7\)

\(f\left(-2\right)=2\cdot\left(-2\right)^3-10\cdot\left(-2\right)-7=-3\)

\(f\left(-1\right)=2\cdot\left(-1\right)^3-10\cdot\left(-1\right)-7=2-7+10=5\)

\(f\left(0\right)=2\cdot0^3-10\cdot0-7=-7\)

Vì \(f\left(-2\right)\cdot f\left(-1\right)< 0\) nên phương trình \(2x^3-10x-7=0\) sẽ có ít nhất 1 nghiệm nằm trong khoảng (-2;-1)

Vì \(f\left(-1\right)\cdot f\left(0\right)=-35< 0\)

nên phương trình \(2x^3-10x-7=0\) sẽ có ít nhất 1 nghiệm nằm trong khoảng (-1;0)

Do đó: Phương trình \(2x^3-10x-7=0\) sẽ có ít nhất 2 nghiệm

cho e hỏi là vì sao  

Ta có:

\(u_{n+1}=\dfrac{2\left(n+1\right)+1}{3\left(n+1\right)-2}=\dfrac{2n+3}{3n+1}\)

Xét hiệu \(u_{n+1}-u_n\), ta có:

\(u_{n+1}-u_n=\dfrac{2n+3}{3n+1}-\dfrac{2n+1}{3n-2}\)

\(=\dfrac{\left(2n+3\right)\left(3n-2\right)-\left(2n+1\right)\left(3n+1\right)}{\left(3n+1\right)\left(3n-2\right)}\)

\(=\dfrac{\left(6n^2+5n-6\right)-\left(6n^2+5n+1\right)}{\left(3n+1\right)\left(3n-2\right)}\)

\(=\dfrac{-7}{\left(3n+1\right)\left(3n-2\right)}< 0,\forall n\in N\text{*}\)

\(\Rightarrow u_{n+1}< u_n,\forall n\in N\text{*}\)

Vậy dãy số \(\left(u_n\right)\) đã cho là dãy giảm