A B C D E G H K M

a) Xét \(\Delta ABC\)có:

\(AE=BE\)(giả thiết)

\(AD=CD\)(giả thiết)

\(\Rightarrow DE\)là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow DE//BC\)(tính chất) (1)

Và \(2DE=BC\)(tính chất) (2)

Xét \(\Delta GBC\)có:

\(GH=BH\)(giả thiết)

\(GK=CK\)(giả thiết)

\(\Rightarrow HK\)là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow HK//BC\)(tính chất) (3)

Và \(2HK=BC\)(tính chất) (4)

Từ (1) và (3)

\(\Rightarrow ED//HK\)(5)

Từ (2) và (4)

\(\Rightarrow2DE=2KH\Rightarrow DE=KH\)(6)

Xét tứ giác DEHK có: (5) và (6).

\(\Rightarrow DEHK\)là hình bình hành (điều phải chứng minh)

\(E=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{x+y}\)

\(=\frac{x+y}{xy}+\frac{2}{x+y}=\frac{x+y}{xy}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y}\)

AM - GM cho 2 số luôn dương \(\ge\sqrt{\frac{1}{xy}}+\frac{1}{x+y}=1+\frac{1}{x+y}\ge1\)

Dấy ''='' xảy ra <=> \(x=y=\frac{1}{2}\)

んuﾘ ｲ cái gì vậy Tú :))

\(E=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{x+y}=\frac{x+y}{xy}+\frac{2}{x+y}\)

\(=x+y+\frac{2}{x+y}=\frac{x+y}{2}+\frac{2}{x+y}+\frac{x+y}{2}\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :

\(\frac{2}{x+y}+\frac{x+y}{2}\ge2\sqrt{\frac{2}{x+y}\cdot\frac{x+y}{2}}=2\)(1)

\(x+y\ge2\sqrt{xy}=2\)( xy = 1 ) => \(\frac{x+y}{2}\ge1\)(2)

Cộng (1) và (2) theo vế => MinE = 3

Đẳng thức xảy ra <=> x = y = 1

A B C D E F H M N I

a) Xét \(\Delta EAB\)và \(\Delta FAC\)có:

\(\widehat{A}\)chung.

\(\widehat{AEB}=\widehat{AFC}\left(=90^0\right)\)

\(\Rightarrow\Delta EAB\approx\Delta FAC\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AF}\)(2 cặp cạnh tỉ lệ tương ứng)(1)

\(\Rightarrow\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AF}\)(tính chất của tỉ lệ thức)

Xét \(\Delta ABC\)và \(\Delta AEF\)có:

\(\widehat{A}\)chung.

\(\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AF}\)(chứng minh trên)

\(\Rightarrow\Delta ABC\approx\Delta AEF\left(c.g.c\right)\)(điều phải chứng minh)

Từ (1) \(\Rightarrow AB.AF=AC.AE\)(điều phải chứng minh)

167167 nha

*x,y nguyên*

x² = y² + 2y + 13

<=> x² - ( y² + 2y + 1 ) = 12

<=> x² - ( y + 1 )² = 12

<=> ( x - y - 1 )( x + y + 1 ) = 12

Vì x,y nguyên => x - y - 1 và x + y + 1 nguyên

Lại có 12 = ±1.±12 = ±2.±6 = ±3,±4

nên bạn tự lập bảng xét :)

\(2x^2+3xy-2y^2=7\)

\(\Leftrightarrow2x^2+4xy-xy-2y^2=7\)

\(\Leftrightarrow2x\left(x+2y\right)-y\left(x+2y\right)=7\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-y\right)\left(x+2y\right)=7\)

VÌ x,y nguyên nên 2x-y và x+2y cũng nguyên

Nên 2x-y và x+2y là các ước của 7

nên có các trường hợp sau\(\left\{\left(2x-y\right);\left(x+2y\right)\right\}=\left\{\left(-1;-7\right);\left(-7;-1\right);\left(1;7\right);\left(7;1\right)\right\}\)

Tự giải nốt nhé

2x² + 3xy - 2y² = 7

<=> 2x² + 4xy - xy - 2y² = 7

<=> 2x(x + 2y) - y(x + 2y) = 7

<=> (2x - y)(x + 2y) = 7

Ta có 7 = 1.7 = (-1).(-7)

Lập bảng xét các trường hợp

Vậy các cặp (x;y) nguyên tìm được là (-1;-3) ; (1;3)