ĐKXĐ : \(x\ge\sqrt{3}\)

\(\sqrt{3x+\sqrt{3}}-\sqrt{x-\sqrt{3}}=2\sqrt{x}\)

\(\Leftrightarrow3x+\sqrt{3}-2\sqrt{\left(3x+\sqrt{3}\right)\left(x-\sqrt{3}\right)}+x-\sqrt{3}=4x\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{\left(3x+\sqrt{3}\right)\left(x-\sqrt{3}\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}3x+\sqrt{3}=0\\x-\sqrt{3}=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{-\sqrt{3}}{3}\left(ktm\right)\\x=\sqrt{3}\left(tm\right)\end{cases}}}\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là \(x=\sqrt{3}\)

đk: \(x\ge\sqrt{3}\)

Ta có: \(\sqrt{3x+\sqrt{3}}-\sqrt{x-\sqrt{3}}=2\sqrt{x}\)

\(\Leftrightarrow3x+\sqrt{3}-2\sqrt{\left(3x+\sqrt{3}\right)\left(x-\sqrt{3}\right)}+x-\sqrt{3}=4x\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{\left(3x+\sqrt{3}\right)\left(x-\sqrt{3}\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3x+\sqrt{3}\right)\left(x-\sqrt{3}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}3x+\sqrt{3}=0\\x-\sqrt{3}=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-\frac{\sqrt{3}}{3}\left(ktm\right)\\x=\sqrt{3}\left(tm\right)\end{cases}}\)

Vậy \(x=\sqrt{3}\)

\(x-1-\sqrt{x-2004}=2005\) 

\(x-1-2005=\sqrt{x-2004}\) 

\(x-2006=\sqrt{x-2004}\) 

\(\sqrt{x-2004}=x-2006\) 

\(\hept{\begin{cases}x-2006\ge0\\x-2004=\left(x-2006\right)^2\end{cases}}\) 

\(\hept{\begin{cases}x\ge2006\\x-2004=x^2-4012x+4024036\end{cases}}\) 

\(\hept{\begin{cases}x\ge2006\\0=x^2-4012x-x+4024036+2004\end{cases}}\) 

\(\hept{\begin{cases}x\ge2006\\x^2-4013x+4026040=0\end{cases}}\) 

\(x\ge2006\) 

\(\orbr{\begin{cases}x=2008\\x=2005\end{cases}}\) ( nhận 2008 ) 

Vậy \(x=2008\)

đk: \(x\ge2004\)

Ta có: \(x-1-\sqrt{x-2004}=2005\)

\(\Leftrightarrow x-2006=\sqrt{x-2004}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2006\right)^2=\left(\sqrt{x-2004}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2-4012x+4024036=x-2004\)

\(\Leftrightarrow x^2-4013x+4026040=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2005\right)\left(x-2008\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-2008=0\\x-2005=0\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}x=2008\\x=2005\end{cases}}\)

Hoặc có thể đặt ẩn phụ \(x-2005=y\)

\(Pt\Leftrightarrow y-1=\sqrt{y+1}\)

\(\Leftrightarrow y^2-2y+1=y+1\)

\(\Leftrightarrow y^2-3y=0\)

\(\Leftrightarrow y\left(y-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2005\right)\left(x-2008\right)=0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=2005\\x=2008\end{cases}}\)

a) Áp dụng BĐT AM-GM cho 3 số: \(x^3+y^3+z^3\ge3xyz\) dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)

Mà đề cho \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)nên ta được \(x=y=z\)

\(\Rightarrow\frac{7x^3+y^3+12z^3}{2x^2y+3xyz+5xz^2}=\frac{7x^3+x^3+12z^3}{2x^3+3x^3+5x^3}=\frac{20x^3}{10x^3}=2\)

b) Áp dụng BĐT AM-GM cho 4 số dương: \(x^4+y^4+z^4+t^4\ge4xyzt\)

Mà đề cho dấu "=" xảy ra vậy đề bài tương đương với \(x=y=z=t\)

\(\frac{x^6+2y^6+3z^6+4xyz^4+10yzt^4}{5xy^2z^3}=\frac{x^6+2x^6+3x^6+4x^6+10x^6}{5x^6}=\frac{20x^6}{5x^6}=4\)

\(\sqrt{x^2+x+2}+\sqrt{x^2+x+7}=5\)\(< =>\sqrt{x^2+x+2}-\sqrt{4}+\sqrt{x^2+x+7}-\sqrt{9}=0\)

\(< =>\frac{x^2+x+2-4}{\sqrt{x^2+x+2}+\sqrt{4}}+\frac{x^2+x+7-9}{\sqrt{x^2+x+7}+\sqrt{9}}=0\)

\(< =>\left(x^2+x-2\right)\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+x+2}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{x^2+x+7}+\sqrt{9}}\right)=0\)

\(< =>x^2+x-2=0\)( do cái cục trong ngoặc khác 0 )

\(< =>x^2-x+2x-2=0< =>x\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)=0\)

\(< =>\left(x+2\right)\left(x-1\right)=0< =>\orbr{\begin{cases}x=-2\\x=1\end{cases}}\)

chắc không có đk đâu nhỉ ?

dòng 2 xuống dòng 3 là sao nhỉ

\(C=\sqrt{12}+\sqrt{27}-\sqrt{48}=2\sqrt{3}+3\sqrt{3}-4\sqrt{3}=\sqrt{3}\)

C=1.1732050808

Đặt \(u=\sqrt{x+1};t=\sqrt{1-x};\text{đ}k:-1\le x\le1\)

Phương trình trở thành:

\(u+2u^2=-t^2+t+3ut\Leftrightarrow\left(u-t\right)^2+u\left(u-t\right)+\left(u-t\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(u-t\right)\left(2u-t+1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}u=t\\2u+1=t\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{x+1}=\sqrt{1-x}\\2\sqrt{x+1}+1=\sqrt{1-x}\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=\frac{-24}{25}\end{cases}}}\)

mình dùng cách khác nhé :((

\(\sqrt{x+1}+2\left(x+1\right)=x-1+\sqrt{1-x}+3\sqrt{1-x^2}\left(đk:-1\le x\le1\right)\)

\(< =>\sqrt{x+1}-1+2x+2-3=x-1+\sqrt{1-x}-1+3\sqrt{1-x^2}-3\)

\(< =>\frac{x}{\sqrt{x+1}+1}+2x-1-x+1=-\frac{x}{\sqrt{1-x}+1}+\frac{9\left(1-x^2-1\right)}{3\sqrt{1-x^2}+3}\)

\(< =>\frac{x}{\sqrt{x+1}+1}+x+\frac{x}{\sqrt{1-x}+1}+\frac{9x^2}{3\sqrt{1-x^2}+3}=0\)

\(< =>x\left(\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}+1+\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}+\frac{9x}{3\sqrt{1-x^2}+3}\right)=0< =>x=0\)

rồi đến đây dùng đk đánh giá cái ngoặc khác 0 là ok

Đặt \(\sqrt{x+1}=t\left(t\ge0\right)\Rightarrow x^2=t^2-1\)

\(pt\Leftrightarrow t^2-1+t=1\)

\(\Leftrightarrow t^2+t-2=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=-2\left(loại\right)\\t=1\end{cases}}\)

Với \(t=1\Leftrightarrow\sqrt{x+1}=1\Leftrightarrow x+1=1\Leftrightarrow x=0\)

KL: \(x=0\)

không dùng ẩn phụ được không ạ ?

\(x^2+\sqrt{x+1}=1\left(đk:x\ge-1\right)\)\(< =>x^2+\sqrt{x+1}-1=0\)

\(< =>x^2+\frac{x+1-1}{\sqrt{x+1}+1}=0< =>x\left(x+\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}\right)=0\)

\(< =>x=0\)và xử lí phần trong ngoặc là ok

x³ - 3x - 52 = 0

<=> x³ + 4x² - 4x² - 16x + 13x - 52 = 0

<=> ( x³ + 4x² + 13x ) - ( 4x² + 16x + 52 ) = 0

<=> x( x² + 4x + 13 ) - 4( x² + 4x + 13 ) = 0

<=> ( x - 4 )( x² + 4x + 13 ) = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}x-4=0\\x^2+4x+13=0\end{cases}}\)

+) x - 4 = 0 <=> x = 4

+) x² + 4x + 13 = ( x² + 4x + 4 ) + 9 = ( x + 2 )² + 9 ≥ 9 > 0 ∀ x

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 4

Bài làm:

Ta có: \(\frac{AH}{HD}+\frac{BH}{HE}+\frac{CH}{HF}\)

\(=\left(\frac{AH}{HD}+1\right)+\left(\frac{BH}{HE}+1\right)+\left(\frac{CH}{HF}+1\right)-3\)

\(=\frac{AH+HD}{HD}+\frac{BH+HE}{HE}+\frac{CH+HF}{HF}-3\)

\(=\frac{AD}{HD}+\frac{BE}{HE}+\frac{CF}{HF}-3\)

\(=\frac{S_{ABC}}{S_{BHC}}+\frac{S_{ABC}}{S_{AHC}}+\frac{S_{ABC}}{S_{AHB}}-3\)

\(=S_{ABC}\left(\frac{1}{S_{BHC}}+\frac{1}{S_{AHC}}+\frac{1}{S_{AHB}}\right)-3\)

\(\ge S_{ABC}\cdot\frac{9}{S_{BHC}+S_{AHC}+S_{AHB}}-3\)

\(=S_{ABC}\cdot\frac{9}{S_{ABC}}-3\)

\(=9-3=6\)

Dấu "=" xảy ra khi H là trọng tâm tam giác ABC

=> Tam giác ABC đều => AB = AC vô lý

=> Không xảy ra dấu bằng

=> đpcm

làm giùm thì được chứ subrice là ko