Ta có: \(-7x^3+12x^2y-6xy^2+y^3-2x+2y=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2y-x^3\right)-\left(xy^2-x^2y\right)+\left(2x^2y-2x^3\right)+\left(y^3-xy^2\right)-\left(4xy^2-4x^2y\right)+\left(4x^2y-4x^3\right)+\left(2y-2x\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left(y-x\right)\left(x^2-xy+2x^2+y^2-4xy+4x^2+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y-x\right)\left[x^2-x\left(y-2x\right)+\left(y-2x\right)^2+2\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y-x\right)\left[\left(x-\frac{y-2x}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\left(y-2x\right)^2+2\right]=0\)

Mà \(\left(x-\frac{y-2x}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\left(y-2x\right)^2+2>0\left(\forall x,y\right)\)

\(\Rightarrow y-x=0\Leftrightarrow x=y\)

Khi đó \(HPT\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x^2-y^2-7x+2y+6=0\\x=y\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x^2-x^2-7x+2x+6=0\\x=y\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2-5x+6=0\\x=y\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-2\right)\left(x-3\right)=0\\x=y\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\in\left\{2;3\right\}\\x=y\end{cases}}\)

Vậy ta có 2 cặp (x;y) thỏa mãn: \(\left(2;2\right);\left(3;3\right)\)

\(\sqrt{4+\sqrt{8}}.\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}.\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}=\sqrt{4+\sqrt{8}}.\sqrt{2^2-\left(2+\sqrt{2}\right)}=\sqrt{4+\sqrt{8}}.\sqrt{2-\sqrt{2}}=\sqrt{8+2\sqrt{8}-4\sqrt{2}-4}=\sqrt{4}=2\)

\(ĐK:x\ge4\)

Bình phương hai vế của phương trình, ta được: \(x-1=x^2-8x+16\Leftrightarrow x^2-9x+17=0\)

Dùng công thức nghiệm tìm được\(x=\frac{9+\sqrt{13}}{2}\left(tm\right)\)hoặc \(x=\frac{9-\sqrt{13}}{2}\left(L\right)\)

Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất là \(\frac{9+\sqrt{13}}{2}\)

\(\sqrt{x-1}=x-4\)

ĐK : x ≥ 4

Bình phương hai vế

pt <=> x - 1 = x² - 8x + 16

    <=> x² - 8x + 16 - x + 1 = 0

    <=> x² - 9x + 17 = 0

Δ = b² - 4ac = (-9)² - 4.1.17 = 81 - 68 = 13

Δ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

\(\hept{\begin{cases}x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{9+\sqrt{13}}{2}\left(nhan\right)\\x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{9-\sqrt{13}}{2}\left(loai\right)\end{cases}}\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là \(x=\frac{9+\sqrt{13}}{2}\)

Vẽ đường kính AD

^ACD là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên là góc vuông => AC⊥CD

Mà BH⊥AC (gt) nên CD // BH (1)

Tương tự, ta có: BD // CH (2)

Từ (1) và (2) suy ra BHCD là hình bình hành 

∆OBC cân tại O (do có hai cạnh OB và OC là bán kính của đường tròn tâm O) có OI là đường cao nên cũng là trung tuyến => I là trung điểm của BC do đó I cũng là trung điểm của HD

Có O là trung điểm của AD (gt), I là trung điểm của HD (cmt) nên OI là đường trung bình của ∆AHD => AH = 2OI (đpcm)

\(=\sqrt{4+\sqrt{8}}.\sqrt{\left(2+\sqrt{2+\sqrt{2}}\right)\left(2-\sqrt{2+\sqrt{2}}\right)}\)

\(=\sqrt{4+\sqrt{8}}.\sqrt{2^2-\left(2+\sqrt{2}\right)}\)

\(=\sqrt{4+2\sqrt{2}}.\sqrt{2-\sqrt{2}}\)

\(=\sqrt{2}.\sqrt{2+\sqrt{2}}.\sqrt{2-\sqrt{2}}\)

\(=\sqrt{2}.\sqrt{\left(2+\sqrt{2}\right)\left(2-\sqrt{2}\right)}=\sqrt{2}.\sqrt{2^2-2}=2\)

\(ĐKXĐ:x>3\)

\(\frac{\sqrt{x-3}}{\sqrt{\sqrt{x}+\sqrt{3}}}.\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{x}-\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{x-3}.\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{x}+\sqrt{3}}.\sqrt{\sqrt{x}-\sqrt{3}}}\)

\(=\frac{\sqrt{x-3}.\sqrt{3}}{\sqrt{\left(\sqrt{x}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{3}\right)}}=\frac{\sqrt{x-3}.\sqrt{3}}{\sqrt{x-3}}=\sqrt{3}\)

\(\frac{\sqrt{x-3}}{\sqrt{\sqrt{x}+\sqrt{3}}}.\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{x}-\sqrt{3}}}\)

\(=\frac{x-3}{\sqrt{x}+\sqrt{3}}.\frac{3}{\sqrt{x}-\sqrt{3}}=\frac{3\left(x-3\right)}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{3}\right)}\)

\(ĐKXĐ:\hept{\begin{cases}a,b>0\\a\ne b\end{cases}}\)

\(\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{\sqrt{a}-\sqrt{b}}}=\frac{(\sqrt{\sqrt{a}-\sqrt{b}})^2}{\sqrt{\sqrt{a}-\sqrt{b}}}=\sqrt{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)

PT <=> \(=\frac{\left(\sqrt{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\right)^2}{\sqrt{\sqrt{a}-\sqrt{b}}}\sqrt{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)