\(a^3+b^3+c^3=3abc+\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-\left(ab+bc+ac\right)\right)\)

=> a+b+c=0

\(\Rightarrow M=\frac{abc}{\left(-c\right)\left(-a\right)\left(-b\right)}=-1\)

\(a^3+b^3+c^3=3abc\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)

Với \(a+b+c=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b=-c\\b+c=-a\\c+a=-b\end{cases}}\)

\(\Rightarrow M=\frac{abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=\frac{abc}{\left(-c\right)\left(-a\right)\left(-b\right)}=-1\)

Với \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)

Ta thấy đây là 1 bất đẳng thức quen thuộc

\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

Dấu = xảy ra khi a = b = c

\(\Rightarrow M=\frac{abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=\frac{a^3}{2a.2a.2a}=\frac{1}{8}\)

\(17-x=\frac{60}{x}\Leftrightarrow17x-x^2=60\Leftrightarrow17x-x^2-60=0\)

\(\Leftrightarrow-x^2+12x+5x-60=0\Leftrightarrow-x\left(x-12\right)+5\left(x-12\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(5-x\right)\left(x-12\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}5-x=0\\x-12=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=5\\x=12\end{cases}}\)

\(17-x=60:x\)

\(\frac{17-x}{1}=\frac{60}{x}\)

\(x\left(17-x\right)=60.1\)

\(17x-x^2=60\)

\(17x-x^2-60=0\)

\(12x+5x-x^2-60=0\)

\(\left(12x-x^2\right)+\left(5x-60\right)=0\)

\(x\left(12-x\right)+5\left(x-12\right)=0\)

\(x\left(12-x\right)-5\left(12-x\right)=0\)

\(\left(x-5\right)\left(12-x\right)=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-5=0\\12-x=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=5\\x=12\end{cases}}}\)

Nhìn cái đề gớm quá. Tập viết đề đi nhé b

Ta có:

\(\left(1-a^2\right)\left(1-b^2\right)\left(1-c^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+1-a^2-b^2-c^2-a^2b^2c^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+a^2b^2c^2\le1+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)(1)

Ta có:

\(a^2+b^2+c^2+a^2b^2c^2\ge a^2+b^2+c^2\)(2)

Ta lại có

\(\hept{\begin{cases}a^2b\left(1-b\right)\ge0\\b^2c\left(1-c\right)\ge0\\c^2a\left(1-a\right)\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^2b\ge a^2b^2\\b^2c\ge b^2c^2\\c^2a\ge c^2a^2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)

\(\Rightarrow1+a^2b+b^2c+c^2a\ge1+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)(3)

Từ (1), (2), (3)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le1+a^2b+b^2c+c^2a\)

đao à mày

Điều kiện \(x\ne-10\)

Xét x < 0 thì

\(\frac{x}{\left(x+10\right)^2}< 0\)(1)

Xét x \(\ge0\)

Ta đặt \(A=\frac{\left(x+10\right)^2}{x}\)

Để cho cái ban đầu lớn nhất thì A phải bé nhất

\(A=\frac{\left(x+10\right)^2}{x}=\frac{x^2+20x+100}{x}=x+20+\frac{100}{x}\)

\(\ge20+2.\sqrt{x}.\sqrt{\frac{100}{x}}=20+20=40\)

GTNN của A = 40

\(\Rightarrow\)GTLN = \(\frac{1}{40}\)(2)

Từ (1) và (2)

\(\Rightarrow\)GTLN = \(\frac{1}{40}\)tại x = 10

x=0.k mình nhá

\(a^6+b^6=\left(a^2\right)^3+\left(b^2\right)^3=\)

\(=\left(a^2+b^2\right)\left(a^4-a^2b^2+b^4\right)=1.\left(\left(a^2+b^2\right)^2-3a^2b^2\right)\)

\(=1-3a^2b^2\le1\)

vậy GTNN là 1

\(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\Rightarrow2ab\le1\)(*)

\(a^6+b^6=\left(a^2\right)^{^3}+\left(b^2\right)^{^3}=\left(a^2+b^2\right)^{^3}-3a^2b^2\left(a^2+b^2\right)=1-3\left(ab\right)^2\)(**)

(*)&(**)\(a^6+b^6\ge1-3\left(\frac{1}{2}\right)^2=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\) đẳng thức khi   \(a=b=+-\frac{\sqrt{2}}{2}\)