2sin^2x+5cosx+1=0

\(2\cdot\left(1-cos^2x\right)+5cosx+1=0\)   

\(-2cos^2x+5cosx+3=0\)   

\(\orbr{\begin{cases}cosx=3\left(l\right)\\cosx=-\frac{1}{2}\end{cases}}\)   

\(cosx=cos\frac{2pi}{3}\)   

\(\orbr{\begin{cases}x=\frac{2pi}{3}+k2pi\\x=\frac{-2pi}{3}+k2pi\end{cases}}\)

cos2x.tan6x=sin10x 

ĐK : cos6x khác 0 

cos2x.sin6x/cos6x=sin10x

sin6xcos2x=sin10xcos6x 

1/2(sin8x+sin4x)=1/2(sin16x+sin4x)

sin8x+sin4x=sin16x+sin4x

sin8x=sin16x

sin16x=sin8x

\(\orbr{\begin{cases}16x=8x+k2pi\\16x=\frac{pi}{2}-8x+k2pi\end{cases}}\)   

\(\orbr{\begin{cases}16x-8x=k2pi\\16x+8x=\frac{pi}{2}+k2pi\end{cases}}\)   

\(\orbr{\begin{cases}8x=k2pi\\24x=\frac{pi}{2}+k2pi\end{cases}}\)   

\(\orbr{\begin{cases}x=\frac{kpi}{4}\\x=\frac{pi}{48}+\frac{kpi}{12}\end{cases}\left(k\in Z\right)}\)

sin^2(4x)+cos^2(6x)=1

\(\frac{1-cos8x}{2}+\frac{1+cos12x}{2}=1\)   

\(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos8x+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos12x=1\)   

\(\frac{1}{2}cos12x-\frac{1}{2}cos8x=0\)   

\(cos12x-cos8x=0\)   

\(-2sin10xsin2x=0\)   

\(\orbr{\begin{cases}sin10x=0\\sin2x=0\end{cases}}\)   

\(\orbr{\begin{cases}10x=kpi\\2x=kpi\end{cases}}\)   

\(\orbr{\begin{cases}x=\frac{kpi}{10}\\x=\frac{kpi}{2}\end{cases}}\)   

\(x=\frac{kpi}{10}\left(k\in Z\right)\)

\(2cosx+cos\frac{x}{2}=4cos^2\frac{x}{2}-2+cos\frac{x}{2}=4t^2+t-2=f\left(t\right)\)(\(t=cos\frac{x}{2},-1\le t\le1\))

\(f'\left(t\right)=8t+1\)

\(f'\left(t\right)=0\Leftrightarrow t=-\frac{1}{8}\)

\(f\left(-1\right)=1,f\left(-\frac{1}{8}\right)=\frac{-33}{16},f\left(1\right)=3\)

do đó \(minf\left(t\right)_{t\in\left[-1,1\right]}=min\left\{f\left(-1\right),f\left(-\frac{1}{8}\right),f\left(1\right)\right\}=-\frac{33}{16}\)

\(maxf\left(t\right)_{t\in\left[-1,1\right]}=max\left\{f\left(-1\right),f\left(-\frac{1}{8}\right),f\left(1\right)\right\}=3\)

Để phương trình ban đầu có nghiệm thì \(m\in\left[-\frac{33}{16},3\right]\).

ta có 5 trường hợp tương ứng với các số có từ 1 đến 5 chứ số :

th1: 1 chữ số : ta có 3 số chẵn

th2:2 chữ số : số cuối cùng có 3 lựa chọn, số thử 2 có 5 lựa chọn nên có \(3\times5\) số chẵn

th3:....

th4:...

th5 số cuối cùng có 3 lựa chọn, 4 chữ số còn lại mỗi số có 5 lựa chọn nên có \(3\times5^4\) số chẵn

vậy cộng lại ta có :\(3+3\times5+3\times5^2+3\times5^3+3\times5^4+3\times5^5=3\times\frac{5^6-1}{4}\)số chẵn được lập

ta có :

\(sin3x=sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}3x=x+\frac{\pi}{4}+k2\pi\\3x=\pi-\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+k2\pi\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{\pi}{8}+k\pi\\x=\frac{3\pi}{16}+\frac{k\pi}{2}\end{cases}}\) với k là số nguyên