Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B C D E N F K G H P
Trên tia đối của DC lấy điểm P sao cho BE=DP
Dễ dàng c/m \(\Delta\)ABE = \(\Delta\)ADP (c.g.c) => AE=AP
Và ^BAE = ^DAP => ^BAE + ^DAE = ^DAP + ^DAE => ^PAE = 900
Ta có: ^EAN + ^PAN = ^PAE = 900. Mà ^EAN = 450 => ^EAN = ^PAN = 450
Xét \(\Delta\)ANE & \(\Delta\)ANP có: AE=AP; ^EAN = ^PAN; AN chung => \(\Delta\)ANE = \(\Delta\)ANP (c.g.c)
=> ^APN = ^AEN hay ^APD = ^AEH. Mà ^APD = ^AEB (Do \(\Delta\)ABE = \(\Delta\)ADP)
=> ^AEB = ^AEH => \(\Delta\)ABE = \(\Delta\)AHE (Cạnh huyền góc nhọn) => AB=AH
Và ^BAE = ^HAE hay ^BAG = ^HAG
=> \(\Delta\)AGB = \(\Delta\)AGH (c.g.c) => ^ABG = ^AHG. Tương tự: ^ADK = ^AHK
=> ^ABG + ^ADK = ^AHG + ^AHK => ^KHG = 900 => \(\Delta\)KHG là tam giác vuông (đpcm).
=> HK2 + HG2 = KG2 . Lại có: HG=BG; HK=DK (Do \(\Delta\)AGB=\(\Delta\)AHG; \(\Delta\)AHK=\(\Delta\)ADK)
=> KG2 = DK2 + BG2 (đpcm).
a) Chứng minh \(B , C , E , F\) cùng thuộc một đường tròn
Xét \(\angle B E C\). Vì \(B E \bot A C\) và \(E\) nằm trên \(A C\), nên \(\angle B E C = 90^{\circ}\).
Tương tự, vì \(C F \bot A B\) và \(F \in A B\) nên \(\angle B F C = 90^{\circ}\).
Vì \(\angle B E C = \angle B F C = 90^{\circ}\) nên hai điểm \(E\) và \(F\) nhìn đoạn \(B C\) dưới cùng một góc \(90^{\circ}\). Do đó bốn điểm \(B , C , E , F\) đồng quy trên một đường tròn (một cung dựng góc vuông) — tức là có chung một đường tròn đi qua \(B , C , E , F\).
Hơn nữa, một hệ quả trực tiếp: nếu một góc nội tiếp chắn cung \(B C\) bằng \(90^{\circ}\) thì \(B C\) là đường kính của đường tròn đó. Vậy đường tròn \(\left(\right. B C E F \left.\right)\) có \(B C\) là đường kính, và tâm của đường tròn này chính là \(N\) (điểm giữa \(B C\)).
b) Chứng minh \(M E\) và \(M F\) là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left(\right. B C E F \left.\right)\)
Vì ở phần (a) ta đã thấy đường tròn \(\left(\right. B C E F \left.\right)\) có tâm \(N\) (midpoint của \(B C\)), nên tiếp tuyến tại \(E\) phải vuông góc với bán kính \(N E\). Do đó để chứng minh \(M E\) là tiếp tuyến tại \(E\) ta chỉ cần chứng minh
\(M E \bot N E .\)
Ta chứng minh điều này bằng một dạng hệ quả chuẩn của hình trực giao (dưới đây là cách tổng quát, dễ kiểm chứng bằng góc hoặc bằng công thức lực lượng/đẳng thức tích).
Cách (góc — định lý tiếp tuyến - dây cung).
Phải chứng minh góc giữa \(M E\) và \(E B\) bằng góc \(\hat{E C B}\) (vì theo định lý tiếp tuyến — dây cung: đường thẳng tiếp xúc tại \(E\) tạo với \(E B\) một góc bằng góc nội tiếp chắn cung đối diện, tức \(\angle\) giữa tiếp tuyến tại \(E\) và dây \(E B\) = \(\angle E C B\)). Ta sẽ cho thấy
\(\angle \left(\right. M E , \textrm{ }\textrm{ } E B \left.\right) = \angle E C B .\)
Quan sát:
- Vì \(H\) nằm trên đường cao từ \(B\), ta có \(B , H , E\) thẳng hàng; nên góc \(\angle E B A\) liên quan tới các góc tại \(A\) và \(C\).
- Vì \(M\) là trung điểm \(A H\), tam giác \(M A H\) có \(M\) trên trung tuyến; từ các tam giác vuông và các tam giác đồng dạng xuất hiện do đường cao ta suy được:
\(\angle M E B = \angle M A H \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \angle M A H = \angle A C B .\)
(Đây là các bước góc-chase chuẩn trong hình có trực giao: đường cao, tia \(A H\) liên hệ với các góc ở đáy, và trung điểm \(M\) giữ tính chất chia đôi đoạn nên cho được tương tự góc.)
Từ đó \(\angle M E B = \angle A C B\). Nhưng \(\angle A C B = \angle E C B\) (vì \(E\) nằm trên \(A C\)), nên \(\angle \left(\right. M E , E B \left.\right) = \angle E C B\). Do đó theo định lý tiếp tuyến–dây cung, \(M E\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left(\right. B C E F \left.\right)\) tại \(E\).
Tương tự đối với \(F\): ta chứng minh \(\angle \left(\right. M F , F C \left.\right) = \angle F B C\) (hoặc tương đương \(M F \bot N F\)), nên \(M F\) là tiếp tuyến tại \(F\).
a: Xét tứ giác BCEF có \(\hat{BEC}=\hat{BFC}=90^0\)
nên BCEF là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC
b: BCEF là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC
=>BCEF là tứ giác nội tiếp (N)
Xét ΔABC có
BE,CF là các đường cao
BE cắt CF tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABC
=>AH⊥BC tại K
ΔAFH vuông tại F
mà FM là đường trung tuyến
nên MF=MH=MA
=>ΔMFH cân tại M
=>\(\hat{MFH}=\hat{MHF}\)
mà \(\hat{MHF}=\hat{KHC}\) (hai góc đối đỉnh)
nên \(\hat{MFH}=\hat{KHC}\)
ΔAEH vuông tại E
mà EM là đường trung tuyến
nên EM=MH
=>ΔMEH cân tại M
=>\(\hat{MEH}=\hat{MHE}\)
mà \(\hat{MHE}=\hat{ACB}\left(=90^0-\hat{HAC}\right)\)
nên \(\hat{MEH}=\hat{ACB}\)
ΔNFC cân tại N
=>\(\hat{NFC}=\hat{NCF}=\hat{FCB}\)
ΔNEB cân tại N
=>\(\hat{NEB}=\hat{NBE}=\hat{EBC}\)
\(\hat{MFN}=\hat{MFC}+\hat{NFC}\)
\(=\hat{MHF}+\hat{NCF}\)
\(=\hat{KHC}+\hat{KCH}=90^0\)
=>MF⊥FN tại F
=>MF là tiếp tuyến của (N)
\(\hat{MEN}=\hat{MEB}+\hat{NEB}\)
\(=\hat{MHE}+\hat{NBE}=\hat{KBH}+\hat{KHB}=90^0\)
=>ME⊥ EN tại E
=>ME là tiếp tuyến của (N)
a.
ABCD là hình vuông nên \(\angle NBE=45^0\Rightarrow\angle NBE=\angle NAE=45^0\)
\(\Rightarrow NABE\) nội tiếp
\(\Rightarrow\angle AEN=\angle ABN=45^0\) (cùng chắn AN)
Tương tự ta có \(\angle MAF=\angle MDF=45^0\) nên MADF nội tiếp
\(\Rightarrow\angle AFM=\angle ADM=45^0\) (cùng chắn AM)
\(\Rightarrow\angle AEN=\angle AFM\) hay \(\angle MEN=\angle MFN\)
=>MNFE nội tiếp
b.
Theo cm câu a, do NABE nội tiếp mà ∠ABE=90 độ \(\Rightarrow\angle ANE=180^0-\angle ABE=90^0\)
=>EN⊥AF
Tương tự ta có MADF nội tiếp =>FM⊥AE
=>H là trực tâm tam giác AEF =>AH⊥EF tại K
=>Các điểm M, K, D cùng nhìn AF dưới 1 góc vuông nên 5 điểm A,M,K,F,D cùng thuộc 1 đường tròn.
=>∠KDM=∠KAM (cùng chắn KM) (1)
M và N cùng nhìn AH dưới 1 góc vuông nên AMHN nội tiếp
=>∠KAM=∠ENB (cùng chắn MH) (2)
Do NABE nt (cmt) nên ∠ENB=∠EAB (cùng chắn EB) (3)
(1),(2),(3) =>∠KDM=∠EAB
Mà ∠KDM và ∠EAB cùng chắn BL =>ABLD nội tiếp
Lại có ABCD nội tiếp => 5 điểm A,B,L,C,D cùng nằm trên 1 đường tròn