Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có A=\(\left(ab+bc+ca\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-abc\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)
=\(2\left(a+b+c\right)+\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}-\frac{ab}{c}-\frac{bc}{a}-\frac{ca}{b}=2\left(a+b+c\right)\)
\(A=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+3ab\left[\left(a+b\right)^2-2ab\right]+6a^2b^2=a^2-ab+b^2+3ab\left(1-2ab\right)+6a^2b^2\)
=\(\left(a+b\right)^2-3ab+3ab-6a^2b^2+6a^2b^2=1\)
2) Ta có \(A=\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)=abc-ab-bc-ca+a+b+c-1=0\)
Ta có: \(ab+bc+ca+\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{a+b+c}\ge2\sqrt{\frac{3\left(ab+bc+ca\right)^2}{a+b+c}}\)
Lại có: \(\left(ab+bc+ca\right)^2\ge3abc\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca+\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{a+b+c}\ge2\sqrt{\frac{3.3abc\left(a+b+c\right)}{a+b+c}}=6\)
\(\Rightarrow1+\frac{3}{a+b+c}\ge\frac{6}{ab+bc+ca}\)(đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
Đặt \(a+b+c=p;ab+bc+ca=q;abc=r\). Khi đó r = 1 và ta cần chứng minh \(1+\frac{3}{p}\ge\frac{6}{q}\)
Ta có: \(q^2\ge3pr=3p\Rightarrow p\le\frac{q^2}{3}\)
\(\Rightarrow1+\frac{3}{p}\ge1+\frac{9}{q^2}\)
Đến đây, ta cần chứng minh \(1+\frac{9}{q^2}\ge\frac{6}{q}\Leftrightarrow\left(q-3\right)^2\ge0\)(Đúng)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Đặt \(a+b+c=3u;ab+bc+ca=3v^2;abc=w^3\)
BĐT \(\Leftrightarrow\) \(54u^3-54uv^2+9w^3\ge3v^2\)
\(\Leftrightarrow54u^3-63uv^2+9w^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow9\left(w^3+3u^3-4uv^2\right)+27u\left(u^2-v^2\right)\ge0\)
Đúng theo BĐT Schur bậc 3: \(w^3+3u^3\ge4uv^2\) và BĐT quen thuộc: \(u^2\ge v^2\)
P/s: Ko chắc ạ..
Lời giải:
Ta có:
\(ab+bc+ac=abc\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)
Xét \(a^4+b^4-(ab^3+a^3b)=(a-b)(a^3-b^3)\)
\(=(a-b)^2(a^2+ab+b^2)\geq 0\forall a,b> 0\)
\(\Rightarrow a^4+b^4\geq ab^3+a^3b\)
\(\Rightarrow 2(a^4+b^4)\geq (a^3+b^3)(a+b)\)
\(\Rightarrow \frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}\geq \frac{(a^3+b^3)(a+b)}{2ab(a^3+b^3)}=\frac{a+b}{2ab}=\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\)
Thực hiện tương tự với các phân thức còn lại:
\(\Rightarrow \frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}+\frac{b^4+c^4}{bc(b^3+c^3)}+\frac{c^4+a^4}{ca(c^3+a^3)}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=3\)
Giả thiết
\(a+b+c=\frac{a b c}{a b + b c + c a}\textrm{ }\Rightarrow\textrm{ }\left(\right.a+b+c\left.\right)\left(\right.ab+bc+ca\left.\right)=abc(\text{1})\)
Ta có
\(\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}}=\frac{1}{a^{3} + b^{3} + c^{3}}\)
Xét vế trái
\(\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}}=\frac{b^{3} c^{3} + c^{3} a^{3} + a^{3} b^{3}}{a^{3} b^{3} c^{3}}\)
Mà
\(b^3c^3+c^3a^3+a^3b^3=\left(\right.abc\left.\right)\left(\right.ab+bc+ca\left.\right)\left(\right.a+b+c\left.\right)\)
dùng (1)
\(\left(\right. a + b + c \left.\right) \left(\right. a b + b c + c a \left.\right) = a b c\)
Suy ra
tử số \(= \left(\right. a b c \left.\right)^{2}\)
Vậy:
\(\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}}=\frac{\left(\right. a b c \left.\right)^{2}}{\left(\right. a b c \left.\right)^{3}}=\frac{1}{a b c}(\text{2})\)
mặt khác
từ (1) ta có
\(a b c = \left(\right. a + b + c \left.\right) \left(\right. a b + b c + c a \left.\right)\)
nên
\(\frac{1}{a b c}=\frac{1}{\left(\right. a + b + c \left.\right) \left(\right. a b + b c + c a \left.\right)}\)
mà
\(a^3+b^3+c^3=\left(\right.a+b+c\left.\right)\left(\right.a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\left.\right)\)
ta được
\(\frac{1}{a b c}=\frac{1}{a^{3} + b^{3} + c^{3}}\)
vậy
Đpcm
Bạn đưa ra đề bài như sau:
Cho \(a , b , c\) thỏa mãn:
\(a + b + c = \frac{a b c}{a b + b c + c a}\)
Chứng minh:
\(\frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}} + \frac{1}{c^{3}} = \frac{1}{a^{3} + b^{3} + c^{3}}\)
Trước tiên, mình hiểu đề bạn muốn nói là:
Cho \(a , b , c\) thỏa mãn:
\(a + b + c = \frac{a b c}{a b + b c + c a}\)
Chứng minh:
\(\frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}} + \frac{1}{c^{3}} = \frac{1}{a^{3} + b^{3} + c^{3}}\)
Bước 1: Phân tích giả thiết
Giả thiết:
\(a + b + c = \frac{a b c}{a b + b c + c a}\)
Nhân hai vế với \(a b + b c + c a\), ta được:
\(\left(\right. a + b + c \left.\right) \left(\right. a b + b c + c a \left.\right) = a b c\)
Bước 2: Chúng ta cần chứng minh:
\(\frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}} + \frac{1}{c^{3}} = \frac{1}{a^{3} + b^{3} + c^{3}}\)
Viết dưới dạng đồng mẫu:
\(\frac{b^{3} c^{3} + a^{3} c^{3} + a^{3} b^{3}}{a^{3} b^{3} c^{3}} = \frac{1}{a^{3} + b^{3} + c^{3}}\)
Tức là:
\(\frac{b^{3} c^{3} + a^{3} c^{3} + a^{3} b^{3}}{a^{3} b^{3} c^{3}} = \frac{1}{a^{3} + b^{3} + c^{3}}\)
Suy ra:
\(\left(\right. b^{3} c^{3} + a^{3} c^{3} + a^{3} b^{3} \left.\right) \left(\right. a^{3} + b^{3} + c^{3} \left.\right) = a^{3} b^{3} c^{3}\)
Bước 3: Đặt
\(X = a^{3} , Y = b^{3} , Z = c^{3}\)
Ta cần chứng minh:
\(\left(\right. X Y + Y Z + Z X \left.\right) \left(\right. X + Y + Z \left.\right) = X Y Z\)
Bước 4: So sánh với giả thiết ban đầu
Ở giả thiết ban đầu, ta có:
\(\left(\right. a + b + c \left.\right) \left(\right. a b + b c + c a \left.\right) = a b c\)
Nhưng ở đây, biến thành:
\(\left(\right. X + Y + Z \left.\right) \left(\right. X Y + Y Z + Z X \left.\right) = X Y Z\)
Với \(X = a^{3} , Y = b^{3} , Z = c^{3}\).
Bước 5: Kết luận
Như vậy, giả thiết ban đầu đúng với \(a , b , c\) thì với \(X = a^{3} , Y = b^{3} , Z = c^{3}\) cũng thỏa mãn giả thiết tương tự. Vậy công thức bạn muốn chứng minh là đúng dựa trên giả thiết cho trước.