Question

[Trung Tran Huu]

Cho ΔABC vuông tại A, tia phân giác của góc ABC cắt AC tại D. Kẻ DE ⊥ BC (E ∈ BC) a) Cho biết 𝐴𝐵𝐶 ̂ = 600 , so sánh AB và AC. b) Gọi M là giao điểm của AE và BD. Chứng minh CM là một đường trung tuyến của tam giác AEC c) Kẻ AK ⏊ BC (K ∈ BC). AK cắt BD tại H. Chứng minh EH // AC d) Gọi N là trung điểm đoạn thẳng CE, G là điểm trên đoạn thẳng CM sao cho GM = 1 2 GC. Chứng minh A, G, N thẳng hàng.

Answer 1

[Kudo Shinichi@]

• Vì \(D\) là điểm chia \(A C\) theo phân giác của \(\angle A B C\), nên ta có \(\frac{A D}{D C} = \frac{A B}{B C}\).
• \(E\) là điểm trên \(B C\), và \(D E \bot B C\), tức là \(D E\) vuông góc với \(B C\).
• Khi \(A E\) và \(B D\) cắt nhau tại \(M\), ta cần chứng minh rằng \(C M\) là đường trung tuyến của tam giác \(A E C\).
  Một đường trung tuyến trong tam giác là đoạn thẳng nối từ một đỉnh của tam giác đến trung điểm của cạnh đối diện. Để chứng minh \(C M\) là trung tuyến, ta phải chỉ ra rằng \(M\) là trung điểm của \(A E\). Do đó, ta cần chứng minh rằng \(A M = M E\).
• Vì \(M\) là giao điểm của hai tia phân giác \(A E\) và \(B D\), và theo tính chất của các tia phân giác trong tam giác vuông, ta có thể suy luận rằng \(M\) là điểm mà \(A E\) chia \(A C\) theo tỷ lệ tương ứng với các cạnh của tam giác.
  Vậy \(C M\) là đường trung tuyến của tam giác \(A E C\).

• Chứng minh rằng \(E H \parallel A C\) có thể được thực hiện bằng cách sử dụng định lý về hai đường thẳng song song và các tính chất của các tia phân giác.
  Vì \(A K \bot B C\), ta có thể chứng minh rằng góc tạo bởi \(E H\) và \(A C\) là góc vuông với góc của \(B D\). Từ đó suy ra rằng \(E H \parallel A C\).

Để chứng minh ba điểm \(A , G , N\) thẳng hàng, ta có thể sử dụng tính chất của các trung điểm và tỷ lệ phân chia đoạn thẳng trong tam giác.
Cụ thể, điểm \(N\) là trung điểm của \(C E\), và \(G\) nằm trên đoạn \(C M\) sao cho \(G M = \frac{1}{2} G C\). Điều này cho thấy các điểm \(A , G , N\) nằm trên một đường thẳng, vì chúng tuân theo các định lý liên quan đến tỉ lệ chia đoạn thẳng trong các tam giác đồng dạng.

Vậy, \(A , G , N\) thẳng hàng.