Cho hình bình hành $ABCD$ đường thẳng $a$ đi qua $A$ lần lượt cắt $BD$, $BC$, $DC$ tại $E$, $K$, $G$. Chứng minh rằng:...

Thầy Cao Đô

Giáo viên VIP

11 tháng 1 - olm

Cho hình bình hành $ABCD$ đường thẳng $a$ đi qua $A$ lần lượt cắt $BD$, $BC$, $DC$ tại $E$, $K$, $G$. Chứng minh rằng:

a) $AE^2=EK.EG$;

b) $\dfrac{1}{AE}=\dfrac{1}{AK}+\dfrac{1}{AG}$;

c) Khi $a$ thay đổi thì tích $BK.DG$ có giá trị không đổi?

#Toán lớp 8

Vũ Đức Phúc

25 tháng 1

a) $Δ A BE$ có $A M$ // $D G$ suy ra $EG A E = E D EB$ (1)

$Δ A D E$ có $A D$ // $B K$ suy ra $E D EB = E A E K$ (2)

Từ (1) và (2) ta có $EG A E = E A E K$ nên $A E^{2} = E K . EG$ .

b) Từ $A E 1 = A K 1 + A G 1$ suy ra $A K A E + A G A E = 1$

$Δ A D E$ có $A D$ // $BC$ suy ra $E K A E = EB E D$

$A E + E K A E = E D + EB E D$

$A K A E = D B E D$ (3)

Tương tự $Δ A EB$ có $A B$ // $D G$ suy ra $EG A E = E D BE$

$A E + EG A E = BE + E D BE$

$A G A E = B D BE$ (4)

Khi đó $A K A E + A G A E = B D E D + B D BE = 1$ .

c) Ta có $K C B K = CG A B$ suy ra $B K = CG K C . A B$ và $A D K C = D G CG$ .

Suy ra $D G = K C A D . CG$

Nhân theo vế ta được $B K . D G = A B . A D$ không đổi.

a) $Δ A BE$ có $A M$ // $D G$ suy ra $EG A E = E D EB$ (1)

$Δ A D E$ có $A D$ // $B K$ suy ra $E D EB = E A E K$ (2)

Từ (1) và (2) ta có $EG A E = E A E K$ nên $A E^{2} = E K . EG$ .

b) Từ $A E 1 = A K 1 + A G 1$ suy ra $A K A E + A G A E = 1$

$Δ A D E$ có $A D$ // $BC$ suy ra $E K A E = EB E D$

$A E + E K A E = E D + EB E D$

$A K A E = D B E D$ (3)

Tương tự $Δ A EB$ có $A B$ // $D G$ suy ra $EG A E = E D BE$

$A E + EG A E = BE + E D BE$

$A G A E = B D BE$ (4)

Khi đó $A K A E + A G A E = B D E D + B D BE = 1$ .

c) Ta có $K C B K = CG A B$ suy ra $B K = CG K C . A B$ và $A D K C = D G CG$ .

Suy ra $D G = K C A D . CG$

Nhân theo vế ta được $B K . D G = A B . A D$ không đổi.

Đúng(0)

Vũ Đức Phúc

25 tháng 1

a) $Δ A BE$ có $A M$ // $D G$ suy ra $EG A E = E D EB$ (1)

$Δ A D E$ có $A D$ // $B K$ suy ra $E D EB = E A E K$ (2)

Từ (1) và (2) ta có $EG A E = E A E K$ nên $A E^{2} = E K . EG$ .

b) Từ $A E 1 = A K 1 + A G 1$ suy ra $A K A E + A G A E = 1$

$Δ A D E$ có $A D$ // $BC$ suy ra $E K A E = EB E D$

$A E + E K A E = E D + EB E D$

$A K A E = D B E D$ (3)

Tương tự $Δ A EB$ có $A B$ // $D G$ suy ra $EG A E = E D BE$

$A E + EG A E = BE + E D BE$

$A G A E = B D BE$ (4)

Khi đó $A K A E + A G A E = B D E D + B D BE = 1$ .

c) Ta có $K C B K = CG A B$ suy ra $B K = CG K C . A B$ và $A D K C = D G CG$ .

Suy ra $D G = K C A D . CG$

Nhân theo vế ta được $B K . D G = A B . A D$ không đổi.

a) $Δ A BE$ có $A M$ // $D G$ suy ra $EG A E = E D EB$ (1)

$Δ A D E$ có $A D$ // $B K$ suy ra $E D EB = E A E K$ (2)

Từ (1) và (2) ta có $EG A E = E A E K$ nên $A E^{2} = E K . EG$ .

b) Từ $A E 1 = A K 1 + A G 1$ suy ra $A K A E + A G A E = 1$

$Δ A D E$ có $A D$ // $BC$ suy ra $E K A E = EB E D$

$A E + E K A E = E D + EB E D$

$A K A E = D B E D$ (3)

Tương tự $Δ A EB$ có $A B$ // $D G$ suy ra $EG A E = E D BE$

$A E + EG A E = BE + E D BE$

$A G A E = B D BE$ (4)

Khi đó $A K A E + A G A E = B D E D + B D BE = 1$ .

c) Ta có $K C B K = CG A B$ suy ra $B K = CG K C . A B$ và $A D K C = D G CG$ .

Suy ra $D G = K C A D . CG$

Nhân theo vế ta được $B K . D G = A B . A D$ không đổi.

Đúng(0)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP