T
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 8 2017
Bài 3:
a) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{xy}+\frac{2}{x^2+y^2}=2\left(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)\) \(\geq 2.\frac{(1+1)^2}{2xy+x^2+y^2}=\frac{8}{(x+y)^2}=8\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
b) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2+y^2}=\frac{1}{2xy}+\left (\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)\geq \frac{1}{2xy}+\frac{(1+1)^2}{2xy+x^2+y^2}\)
\(=\frac{1}{2xy}+\frac{4}{(x+y)^2}\)
Theo BĐT AM-GM:
\(xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{1}{2xy}\geq 2\)
Do đó \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\geq 2+4=6\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 8 2017
Bài 1: Thiếu đề.
Bài 2: Sai đề, thử với \(x=\frac{1}{6}\)
Bài 4 a) Sai đề với \(x<0\)
b) Áp dụng BĐT AM-GM:
\(x^4-x+\frac{1}{2}=\left (x^4+\frac{1}{4}\right)-x+\frac{1}{4}\geq x^2-x+\frac{1}{4}=(x-\frac{1}{2})^2\geq 0\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x^4=\frac{1}{4}\\ x=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) (vô lý)
Do đó dấu bằng không xảy ra , nên \(x^4-x+\frac{1}{2}>0\)
Bài 6: Áp dụng BĐT AM-GM cho $6$ số:
\(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd\geq 6\sqrt[6]{a^3b^3c^3d^3}=6\)
Do đó ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=d=1\)
10 tháng 8 2017
5) a) Đặt b+c-a=x;a+c-b=y;a+b-c=z thì 2a=y+z;2b=x+z;2c=x+y
Ta có:
\(\dfrac{2a}{b+c-a}+\dfrac{2b}{a+c-b}+\dfrac{2c}{a+b-c}=\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{x+z}{y}+\dfrac{x+y}{z}=\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+\left(\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\right)+\left(\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{z}\right)\ge6\)
Vậy ta suy ra đpcm
b) Ta có: a+b>c;b+c>a;a+c>b
Xét: \(\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}>\dfrac{1}{a+b+c}+\dfrac{1}{b+c+a}=\dfrac{2}{a+b+c}>\dfrac{2}{a+b+a+b}=\dfrac{1}{a+b}\)
.Tương tự:
\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}>\dfrac{1}{b+c};\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}>\dfrac{1}{a+c}\)
Vậy ta có đpcm
10 tháng 8 2017
6) Ta có:
\(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd\ge2ab+2cd+ab+cd=3\left(ab+cd\right)\)
\(ab+cd=ab+\dfrac{1}{ab}\ge2\)
Suy ra đpcm
C
10 tháng 4 2017
5. phân tích ra : \(1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+1\)
áp dụng bđ cosy
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2\)
=> đpcm
6. \(x^2-x+1=x^2-2.\dfrac{1}{2}.x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\)
hay với mọi x thuộc R đều là nghiệm của bpt
7.áp dụng bđt cosy
\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2\sqrt{a^2.b^2.c^2.d^2}=4abcd\left(đpcm\right)\)
DH
9 tháng 9 2017
\(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+2\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{bc}\right)\)
=\(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+2\left(\dfrac{a+b+c}{abc}\right)\)
mà a+b+c=0
\(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+2\left(\dfrac{0}{abc}\right)=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\)
TK
6 tháng 10 2017
2) ta có: \(VT=\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\) và \(VP=\left(ax+by\right)^2\)
tính hiệu của cả VT và VP
suy ra: \(\left(ay+bx\right)^2=0\Rightarrow ay=bx\)
vì \(x,y\ne0\Rightarrow\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}\left(đpcm\right)\)
3)(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=(ax+by+cz)2 (1)
biến đổi đẳng thức (1) thành (ay+bx)2 + (bz-cy)2 +(az-cx)2 =0
\(\Rightarrow\) Đpcm
BT
24 tháng 10 2017
Có \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=2\Rightarrow\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2=2^2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{2}{ab}+\dfrac{2}{bc}+\dfrac{2}{ac}=4\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+2\left(\dfrac{c+a+b}{abc}\right)=4\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+2=4\) (do \(a+b+c=abc\))
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=2\). (đpcm).
Y
14 tháng 8 2018
Ta có:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2=3^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{2}{ab}+\dfrac{2}{bc}+\dfrac{2}{ac}=9\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+2\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}\right)=9\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+2\left(\dfrac{c}{abc}+\dfrac{a}{abc}+\dfrac{b}{abc}\right)=9\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+2\dfrac{a+b+c}{abc}=9\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{2.3abc}{abc}=9\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+6=9\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=3\)
Không biết đề có sai không nhỉ? 
3 tháng 7 2018
\(1.\) Giả sử : \(a\ge b\ge c\Rightarrow a+b\ge a+c\ge b+c\)
Ta có : \(\dfrac{c}{a+b}\le\dfrac{c}{b+c};\dfrac{b}{a+c}\le\dfrac{b}{b+c};\dfrac{a}{b+c}=\dfrac{a}{b+c}\)
\(\Rightarrow\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{a}{b+c}\le\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{a}{b+c}=1+\dfrac{a}{b+c}< 1+1=2\left(đpcm\right)\)
\(2.\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{yz+xz+xy}{xyz}=\dfrac{1}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)=xyz\)
\(\Leftrightarrow x^2y+x^2z+xy^2+y^2z+xyz+xyz+yz^2+xz^2=0\)
\(\Leftrightarrow xy\left(x+y+z\right)+yz\left(x+y+z\right)+xz\left(x+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)y\left(x+z\right)+xz\left(x+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+z\right)\left(xy+y^2+yz+xz\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-y\\y=-z\\x=-z\end{matrix}\right.\)
+) Với : \(x=-y\) , ta có :
Đpcm \(\Leftrightarrow-\dfrac{1}{y^{2011}}+\dfrac{1}{y^{2011}}+\dfrac{1}{z^{2011}}=\dfrac{1}{-y^{2011}+y^{2011}+z^{2011}}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{z^{2011}}=\dfrac{1}{z^{2011}}\left(luôn-đúng\right)\)
Tương tự với 2 TH còn lại .
\(\RightarrowĐCPM\)
19 tháng 1 2018
ta có: \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}=1\)
<=>\(\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\right)\left(a+b+c\right)=a+b+c\)
<=>\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{ac}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{bc}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}+\dfrac{ac}{a+b}+\dfrac{cb}{a+b}=a+c+b\)
<=>\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{ab+ac}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{ab+bc}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}+\dfrac{ac+cb}{a+b}=a+c+b\)
<=>\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{a\left(b+c\right)}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{b\left(a+c\right)}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}+\dfrac{c\left(a+b\right)}{a+b}=a+c+b\)
<=>\(\dfrac{a^2}{b+c}+a+\dfrac{b^2}{a+c}+b+\dfrac{c^2}{a+b}+c=a+c+b\)
<=>\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}=a+c+b-a-c-b=0\) (đpcm)
chúc bạn học tốt ^ ^
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 11 2017
Lời giải:
a)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
\(x^3+x^2+x+1\geq 4\sqrt[4]{x^3.x^2.x.1}=4\sqrt[4]{x^6}\)
\(\Rightarrow (x^3+x^2+x+1)^2\geq 16\sqrt{x^6}\)
\(\Leftrightarrow (x^3+x^2+x+1)^2\geq 16x^3\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=1\)
b)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{b+c}{a}.1\leq \left(\frac{\frac{b+c}{a}+1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\left(\frac{b+c+a}{a}\right)^2\)
\(\Rightarrow \frac{a}{b+c}\geq 4\left(\frac{a}{a+b+c}\right)^2\Leftrightarrow \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq \frac{2a}{a+b+c}\)
Thực hiện tương tự với cac phân thức còn lại và cộng theo vế thu được:
\(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geq \frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=2\)
Dấu bằng xảy ra khi
\(\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=\frac{a+b}{c}=1\Rightarrow a+b+c=2a=2b=2c\)
\(\Rightarrow a=b=c\Rightarrow \frac{b+c}{a}=2\neq 1\) (vô lý)
Do đó dấu bằng không xảy ra
Vì vậy: \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2\)
Áp dụng BĐT \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=1^2=1\)
⇔\(a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{1}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)