Question

[Thầy Cao Đô]

Chứng minh rằng nếu $a \ge b$, $x \ge y$ thì $\dfrac{ax + by}2 \ge \dfrac{a + b}2 . \dfrac{x + y}2$.

Answer 1

[Nguyễn Minh Quang]

ta có :

\(\frac{ax+by}{2}\ge\frac{a+b}{2}.\frac{x+y}{2}\Leftrightarrow2\left(ax+by\right)\ge\left(a+b\right)\left(x+y\right)\)

\(\Leftrightarrow2\left(ax+by\right)\ge ax+ay+bx+by\)

\(\Leftrightarrow ax-ay+by-bx\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(x-y\right)\ge0\)

Điều này đúng do giả thuyết \(a\ge b,x\ge y\)

Answer 2

[Nguyễn Hà Ngân]

Ta có $\genfrac{}{}{0ex}{}{ax+by}{2}\ge \genfrac{}{}{0ex}{}{a+b}{2}.\genfrac{}{}{0ex}{}{x+y}{2}$

$\iff 2(ax+by)\ge (a+b)(x+y)$

$\iff 2(ax+by)\ge ax+ay+bx+by$

$\iff ax+by-ay-bx\ge 0$

$\iff (a-b)(x-y)\ge 0$ (luôn đúng vì giả thiết $a\ge b$ và $x\ge y$).

Vậy nếu $a\ge b$, $x\ge y$ thì $\genfrac{}{}{0ex}{}{ax+by}{2}\ge \genfrac{}{}{0ex}{}{a+b}{2}.\genfrac{}{}{0ex}{}{x+y}{2}$.