Câu hỏi của cccccc

Question

Tìm tất cả các số nguyên dương x sao cho x^3 + x^2 + 2025 là một số chính phương nhỏ hơn 10000

Trần Anh Khoa · Accepted Answer

Giả sử $x^3+x^2+2025$ là số chính phương nhỏ hơn 10000. Ta có phương trình:$x^3+x^2+2025 =k^2(k \in N,k^2<10000 \Leftrightarrow 	
k<100)$$\Leftrightarrow 	
$$2025=k^2-x^2(x+1)$$\Leftrightarrow 	
$$2025=(k-x\sqrt{x+1})(k+x\sqrt{x+1})$Mà $k-x\sqrt{x+1} < k+x\sqrt{x+1}< 100$(Vì $k < 100$)$\Rightarrow $$\left[\begin{array}{}
\begin{cases}
k+x\sqrt{x+1}=81\
k-x\sqrt{x+1}=25
\end{cases}\
\begin{cases}
k+x\sqrt{x+1}=75\
k-x\sqrt{x+1}=27
\end{cases}\
\end{array} \right.$$\Leftrightarrow$$\left[\begin{array}{}
\begin{cases}
2k=106\
k-x\sqrt{x+1}=25
\end{cases}\
\begin{cases}
2k=102\
k-x\sqrt{x+1}=27
\end{cases}\
\end{array} \right.$$\Leftrightarrow$$\left[\begin{array}{}
\begin{cases}
k=53\
53-x\sqrt{x+1}=25
\end{cases}\
\begin{cases}
k=51\
51-x\sqrt{x+1}=27
\end{cases}\
\end{array} \right.$$\Leftrightarrow$$\left[\begin{array}{}
\begin{cases}
k=53\
x\sqrt{x+1}=28
\end{cases}\
\begin{cases}
k=51\
x\sqrt{x+1}=24
\end{cases}\
\end{array} \right.$$\Leftrightarrow$$\left[\begin{array}{}
\begin{cases}
k=53\
x^3+x^2-784=0
\end{cases}\
\begin{cases}
k=51\
x^3+x^2-576=0
\end{cases}\
\end{array} \right.$$\Leftrightarrow$$\left[\begin{array}{}
\begin{cases}
k=53\
x^3+x^2-784=0(PTVN)
\end{cases}\
\begin{cases}
k=51\
x^3-8x^2+9x^2-72x+72x-576=0
\end{cases}\
\end{array} \right.$$\Leftrightarrow$$\begin{cases}
k=51\
(x-8)(x^2+9x+72)=0
\end{cases}$$\Leftrightarrow$$\begin{cases}
k=51(t/m)\
\left[\begin{array}{}
x=8(t/m)\
(x+\frac{9}{2})^2+\frac{207}{4}=0(PTVN)
\end{array} \right.
\end{cases}$Vậy chỉ có giá trị $x=8$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.P/s: Cái c/m vô nghiệm kia mình không biết làm. Chỉ biết bấm máy tính không ra nghiệm nguyênCâu trả lời: Giả sử $x^3+x^2+2025$ là số chính phương nhỏ hơn 10000. Ta có phương trình:$x^3+x^2+2025 =k^2(k \in N,k^2<10000 \Leftrightarrow 	
k<100)$$\Leftrightarrow 	
$$2025=k^2-x^2(x+1)$$\Leftrightarrow 	
$$2025=(k-x\sqrt{x+1})(k+x\sqrt{x+1})$Mà $k-x\sqrt{x+1} < k+x\sqrt{x+1}< 100$(Vì $k < 100$)$\Rightarrow $$\left[\begin{array}{}
\begin{cases}
k+x\sqrt{x+1}=81\
k-x\sqrt{x+1}=25
\end{cases}\
\begin{cases}
k+x\sqrt{x+1}=75\
k-x\sqrt{x+1}=27
\end{cases}\
\end{array} \right.$$\Leftrightarrow$$\left[\begin{array}{}
\begin{cases}
2k=106\
k-x\sqrt{x+1}=25
\end{cases}\
\begin{cases}
2k=102\
k-x\sqrt{x+1}=27
\end{cases}\
\end{array} \right.$$\Leftrightarrow$$\left[\begin{array}{}
\begin{cases}
k=53\
53-x\sqrt{x+1}=25
\end{cases}\
\begin{cases}
k=51\
51-x\sqrt{x+1}=27
\end{cases}\
\end{array} \right.$$\Leftrightarrow$$\left[\begin{array}{}
\begin{cases}
k=53\
x\sqrt{x+1}=28
\end{cases}\
\begin{cases}
k=51\
x\sqrt{x+1}=24
\end{cases}\
\end{array} \right.$$\Leftrightarrow$$\left[\begin{array}{}
\begin{cases}
k=53\
x^3+x^2-784=0
\end{cases}\
\begin{cases}
k=51\
x^3+x^2-576=0
\end{cases}\
\end{array} \right.$$\Leftrightarrow$$\left[\begin{array}{}
\begin{cases}
k=53\
x^3+x^2-784=0(PTVN)
\end{cases}\
\begin{cases}
k=51\
x^3-8x^2+9x^2-72x+72x-576=0
\end{cases}\
\end{array} \right.$$\Leftrightarrow$$\begin{cases}
k=51\
(x-8)(x^2+9x+72)=0
\end{cases}$$\Leftrightarrow$$\begin{cases}
k=51(t/m)\
\left[\begin{array}{}
x=8(t/m)\
(x+\frac{9}{2})^2+\frac{207}{4}=0(PTVN)
\end{array} \right.
\end{cases}$Vậy chỉ có giá trị $x=8$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.P/s: Cái c/m vô nghiệm kia mình không biết làm. Chỉ biết bấm máy tính không ra nghiệm nguyên

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP