Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài làm
Khai triển vế trái ta được
\(\left(\sqrt{n+1}\right)^2-2\sqrt{n+1}.\sqrt{n}+\left(\sqrt{n}\right)^2\)
\(=n+1+n-2\sqrt{n\left(n+1\right)}\)
\(=2n+1-2\sqrt{n\left(n+1\right)}\)
Biến đổi vế phải
\(\left(2n+1\right)-\sqrt{4n^2+4n+1-1}=2n+1-\sqrt{4n\left(n+1\right)}\)
\(=2n+1-\sqrt{4}.\sqrt{n\left(n+1\right)}\)
Từ đó suy ra hai vế bằng nhau. Vậy đẳng thức đúng.
(Thực ra đẳng thức đúng với n là số thực không âm)
Ta có: \(n+\left(n+1\right)>2\sqrt{n\left(n+1\right)}\left(AM-GM\right)\) suy ra:
\(\frac{1}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}=\frac{1}{\left(2n+1\right).\frac{\left(n+1\right)-n}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+\left(n+1\right)}< \frac{1}{2}.\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n\left(n+1\right)}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)Áp dụng vào ta có:
\(S_n< \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{n+1}}< \frac{1}{2}\left(đpcm\right).\)
Bạn bấn vào đây, câu hỏi của bạn có người trả lời rồi Câu hỏi của Lương Ngọc Anh - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
Ta có: \(VT=\sqrt{\left(2n+1\right)^2}+\sqrt{4n^2}=\sqrt{\left(2n+1\right)^2}+\sqrt{\left(2n\right)^2}\)
\(=\left|2n+1\right|+\left|2n\right|\)
Vì \(n\inℕ\)\(\Rightarrow2n+1>0\); \(2n\ge0\)
\(\Rightarrow\left|2n+1\right|=2n+1\)và \(\left|2n\right|=2n\)
\(\Rightarrow VT=2n+1+2n=4n+1\)
Ta có: \(VP=\left(2n+1\right)^2-4n^2=\left(2n+1\right)^2-\left(2n\right)^2\)
\(=\left(2n+1-2n\right)\left(2n+1+2n\right)=4n+1\)
\(\Rightarrow VT=VP\)\(\Rightarrowđpcm\)