Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Liên hợp ta thấy:
\(2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=2.\frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}<\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}(1)\)
\(2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})=2.\frac{n-(n-1)}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}>\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow 2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})< \frac{1}{\sqrt{n}}< 2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})\)
------------------------
Áp dụng vào bài toán:
\(S=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}>1+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})+2(\sqrt{4}-\sqrt{3})+...+2(\sqrt{101}-\sqrt{100})\)
\(\Leftrightarrow S>1+2(\sqrt{101}-\sqrt{2})>18(*)\)
Và:
\(S< 1+2(\sqrt{2}-\sqrt{1})+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})+....+2(\sqrt{100}-\sqrt{99})\)
\(\Leftrightarrow S< 1+2(\sqrt{100}-\sqrt{1})=19(**)\)
Từ $(*); (**)$ suy ra $18< S< 19$ (đpcm)
Ta có \(y=\frac{x}{4^5}=\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^{10}+\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^{10}\)
Đặt \(a=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\); \(a=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ab=1\\a+b=3\end{matrix}\right.\)
Xét \(S_n=a^n+b^n\) (\(\left\{{}\begin{matrix}a>0\\b>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow S_n>0\) )
\(\Rightarrow S_0=2;\) \(S_1=3\);
Ta có \(S_1.S_n=\left(a+b\right)\left(a^n+b^n\right)=a^{n+1}+b^{n+1}+a.b^n+b.a^n\)
\(S_1S_n=a^{n+1}+b^{n+1}+a^{n-1}+b^{n-1}\) (do \(a=\frac{1}{b}\) và \(b=\frac{1}{a}\))
\(S_1S_n=S_{n+1}+S_{n-1}\)
\(\Rightarrow S_{n+1}=2S_n-S_{n-1}\)
Do \(S_0\) và \(S_1\) nguyên \(\Rightarrow S_n\) nguyên với mọi \(n\ge1\)
\(\Rightarrow S_n\) nguyên dương với mọi \(n\ge1\)
\(\Rightarrow y=S_{10}\in N\Rightarrow x=4^5.y=1024.y⋮1024\)
Ta co:
\(\frac{1}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+1+n}< \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2\sqrt{n+1}.\sqrt{n}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
Ap vào bài toan được
\(S_n=\frac{1}{3\left(1+\sqrt{2}\right)}+\frac{1}{5\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}+...+\frac{1}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}\)
\(< \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< \frac{1}{2}\)
Với mọi số nguyên dương n,chứng minh rằng\(S_n=\left(3+\sqrt{5}\right)^n+\left(3-\sqrt{5}\right)^n\)
\(MN\perpÂB\), AH\(\perp BD\)
ta có: MN,AH là 2 đ/cao tgiac ANB cắt tại M nên \(MB\perp AN\)
Gọi giao điểm MB,AN là K \(\Rightarrow\widehat{BKN}=90\Rightarrow\widehat{NBM}+\widehat{ANB}=90\Leftrightarrow\widehat{BNI}+\widehat{ANB}=90\Leftrightarrow\widehat{ANI}=90\)Vì BM//DI nên góc NBM=BNI( SLT)
cho x;y;z>0 tm \(x^2+y^2+z^2=3xyz.CMR\frac{x^2}{x^4+yz}+\frac{y^2}{Y^4+xz}+\frac{z^2}{z^4+xy}\le\frac{3}{2}\)