Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
\(S_n=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\)
\(=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{(\sqrt{2}-\sqrt{1})(\sqrt{2}+\sqrt{1})}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}+...+\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}\)
\(=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{2-1}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}+...+\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(n+1)-n}\)
\(=\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+..+\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)
\(=\sqrt{n+1}-1\)
Để \(S_n\in\mathbb{Z}\Rightarrow \sqrt{n+1}-1\in\mathbb{Z}\Rightarrow \sqrt{n+1}\in\mathbb{Z}\)
Đặt \(\sqrt{n+1}=t\in\mathbb{N}>1\) do \(n>0\)
\(\Rightarrow n+1=t^2\Rightarrow t^2\leq 101\) do \(n\leq 100\)
\(\Rightarrow 0< t\leq \sqrt{101}\)
Mà \(t\in\mathbb{N}^*\Rightarrow t\in\left\{1;2;3;4;5;6;7;8;9;10\right\}\)
\(\Rightarrow n=t^2-1\in\left\{3; 8; 15; 24;35;48;63;80;99\right\}\)
Ta có \(\Delta\) = (-2)2 - 4 . 1 . (-3m2)
= 4 + 12m2
Ta có m2 \(\ge\) 0 => 12m2 \(\ge\) 0
=> 4 + 12m2 > 0
=> Phương trình luôn có nghiệm với mọi m
Ta có x1 + x2 = \(\dfrac{-b}{a}\) = \(\dfrac{-\left(-2\right)}{1}\) = 2
x1x2 = \(\dfrac{c}{a}=\dfrac{-3m^2}{1}\) = -3m2
\(\dfrac{x_1}{x_2}-\dfrac{x_2}{x_1}\) = \(\dfrac{8}{3}\)
=> 3x12 - 3x22 = 8x1x2
=> x12 - x22 = \(\dfrac{8}{3}\) x1x2
=> ( x1 + x2 ) . ( x1 - x2 ) = \(\dfrac{8}{3}\)x1x2
=> 2( x1 - x2 ) = \(\dfrac{8}{3}\) . (-3m2)
=> 2( x1 - x2 ) = -8m2
=> x1 - x2 = -4m2
=> \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\\x_1-x_2=-4m^2\end{matrix}\right.\)
Giải bằng phương pháp thế, ta được
=> \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=2-2m^2\\x_2=2m^2\end{matrix}\right.\)
để có hai nghiệm khác 0
=> \(\left\{{}\begin{matrix}2-2m^2\ne0\\2m^2\ne0\end{matrix}\right.\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}2m^2\ne2\\m^2\ne0\end{matrix}\right.\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}m^2\ne1\\m\ne0\end{matrix}\right.\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\m\ne0\end{matrix}\right.\)
Phương trình luôn có nghiệm với mọi m( m \(\ne\) 1; 0 ) thỏa mãn điều kiện \(\dfrac{x_1}{x_2}-\dfrac{x_2}{x_1}\) = \(\dfrac{8}{3}\)
\(M=\dfrac{x^2-3m+5}{m-1}=\dfrac{m^2-m-2m+2+3}{m-1}=\dfrac{m\left(m-1\right)-2\left(m-1\right)+3}{m-1}=\dfrac{\left(m-2\right)\left(m-1\right)+3}{m-1}=m-2+\dfrac{3}{m-1}\)Để M nguyên
⇒ \(\dfrac{3}{m-1}\in Z\Rightarrow3⋮\left(m-1\right)\)
\(\Rightarrow m-1\inƯ\left(3\right)=\left\{1;-1;3;-3\right\}\)
⇒ \(m\in\left\{2;0;4;-2\right\}\)
Mà m là số tự nhiên
⇒ \(m\in\left\{0;2;4\right\}\)