Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a/ \(\left|A+B\right|\le\left|A\right|+\left|B\right|\)
\(\Leftrightarrow\left(\left|A+B\right|\right)^2\le\left(\left|A\right|+\left|B\right|\right)^2\)
\(\Leftrightarrow AB\le\left|A\right|.\left|B\right|\) (luôn đúng)
Đẳng thức xảy ra khi \(A.B\ge0\)
b/ \(M=\sqrt{x^2+4x+4}+\sqrt{x^2-6x+9}=\sqrt{\left(x+2\right)^2}+\sqrt{\left(x-3\right)^2}\)
\(=\left|x+2\right|+\left|3-x\right|\ge\left|x+2+3-x\right|=5\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(x+2\right)\left(3-x\right)\ge0\Leftrightarrow-2\le x\le3\)
Vậy minM = 5 tại \(-2\le x\le3\)
c/ \(\sqrt{4x^2+20x+25}+\sqrt{x^2-8x+16}=\sqrt{x^2+18x+81}\) (bạn tự tìm đkxđ)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(2x+5\right)^2}+\sqrt{\left(x-4\right)^2}=\sqrt{\left(x+9\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow\left|2x+5\right|+\left|4-x\right|=\left|x+9\right|\)
Áp dụng BĐT ở a) cho vế trái : \(\left|2x+5\right|+\left|4-x\right|\ge\left|2x+5+4-x\right|=\left|x+9\right|\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(2x+5\right)\left(4-x\right)\ge0\Leftrightarrow-\frac{5}{2}\le x\le4\)
Vậy nghiệm của phương trình là \(-\frac{5}{2}\le x\le4\)
a,b) Đk để biểu thức A xác định là x > 4
\(A=\frac{x\left(\sqrt{\left(\sqrt{x-4}+2\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-4}-2\right)^2}\right)}{\sqrt{\left(x-4\right)^2}}\)
\(A=\frac{x\left(|\sqrt{x-4}+2|+|\sqrt{x-4}-2|\right)}{|x-4|}\)
\(A=\frac{x\left(\sqrt{x-4}+2+|\sqrt{x-4}-2|\right)}{x-4}\)
+) Nếu 4 < x < 8 thì \(\sqrt{x-4}-2< 0\)nên \(A=\frac{x\left(\sqrt{x-4}+2+2-\sqrt{x-4}\right)}{x-4}=\frac{4x}{x-4}=4+\frac{16}{x-4}\)
Do 4 < x < 8 nên 0 < x - 4 < 4 => A > 88
+) Nếu \(x\ge8\)thì \(\sqrt{x-4}-2\ge0\)nên :
\(A=\frac{x\left(\sqrt{x-4}+2+\sqrt{x-4}-2\right)}{x-4}=\frac{2x\sqrt{x-4}}{x-4}=\frac{2x}{\sqrt{x-4}}=2\sqrt{x-4}+\frac{8}{\sqrt{x-4}}\ge2\sqrt{16}=8\)
( Theo bđt Cô si )
- Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi \(2\sqrt{x-4}=\frac{8}{\sqrt{x-4}}\Leftrightarrow x-4=4\Leftrightarrow x=8\)
Vậy Min của A = 8 khi x = 8
c) Xét 4 < x < 8 thì \(A=4+\frac{16}{x-4}\), ta thấy \(A\in Z\)khi và chỉ khi \(\frac{16}{x-4}\in Z\Leftrightarrow x-4\)là ước nguyên dương của 16
- Hay \(x-4\in\left\{1;2;4;16\right\}\Leftrightarrow x=\left\{5;6;8;12;20\right\}\)đối chiếu điều kiện => x = 5 hoặc x = 6
+) Xét \(x\ge8\)ta có : \(A=\frac{2x}{\sqrt{x-4}}\)
Đặt \(\sqrt{x-4}=m\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=m^2+4\\m\ge2\end{cases}}\)khi đó ta có : \(A=\frac{2\left(m^2+4\right)}{m}=2m+\frac{8}{m}\)
\(\Rightarrow m\in\left\{2;4;8\right\}\Leftrightarrow x\in\left\{8;20;68\right\}\)
Vậy để A nhận giá trị nguyên thì \(x\in\left\{5;6;8;20;68\right\}\)
2.
A=\(\sqrt{\sqrt{\left(\sqrt{16}-\sqrt{12}\right)^2}}-\sqrt{\sqrt{\left(\sqrt{16}+\sqrt{12}\right)^2}}\)
\(=\sqrt{4-2\sqrt{3}}-\sqrt{4+2\sqrt{3}}\)
\(=\sqrt{\left(\sqrt{3}-\sqrt{1}\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{3}+\sqrt{1}\right)^2}\)
\(=\sqrt{3}-1-\left(\sqrt{3}+1\right)\)
\(=\sqrt{3}-1-\sqrt{3}-1\)
\(=-2\)
B= \(\sqrt{5-2\sqrt{2+\sqrt{\left(\sqrt{8}+\sqrt{1}\right)^2}}}\)
\(=\sqrt{5-2\sqrt{2+\sqrt{8}+1}}\)
\(=\sqrt{5-2\sqrt{3+2\sqrt{2}}}\)
\(=\sqrt{5-2\sqrt{\left(\sqrt{2}+\sqrt{1}\right)^2}}\)
\(=\sqrt{5-2\sqrt{2}-2}\)
\(=\sqrt{3-2\sqrt{2}}\)
\(=\sqrt{\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)^2}\)
\(=\sqrt{2}-1\)
a.\(\sqrt{x-2}=\sqrt{4-x}\)
đk: \(\left\{{}\begin{matrix}x-2\ge0\\4-x\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge2\\x\le4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow2\le x\le4\)
pt đã cho tương đương với
\(x-2=4-x\)
\(\Leftrightarrow2x=6\Rightarrow x=3\left(TM\right)\)
b.\(\sqrt{x^2-8x+6}=x+2\)
đk: \(x+2\ge0\Rightarrow x\ge-2\)
pt đã cho tương đương với
\(x^2-8x+6=\left(x+2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^2-8x+6=x^2+4x+4\)
\(\Leftrightarrow-12x=-2\Rightarrow x=\frac{1}{6}\left(TM\right)\)
c.\(\sqrt{2x-1}+5=\sqrt{8x-4}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2x-1}+5=\sqrt{4\left(2x-1\right)}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2x-1}+5=2\sqrt{2x-1}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2x-1}=5\)
đk: \(2x-1\ge0\Leftrightarrow x\ge\frac{1}{2}\)
pt tương đương: \(2x-1=25\)
\(\Leftrightarrow2x=26\Rightarrow x=13\left(TM\right)\)
d.\(\sqrt{16-32x}-\sqrt{12x}=\sqrt{3x}+\sqrt{9-18x}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{16\left(1-2x\right)}-\sqrt{4.3x}=\sqrt{3x}+\sqrt{9\left(1-2x\right)}\)
\(\Leftrightarrow4\sqrt{1-2x}-2\sqrt{3x}+3\sqrt{1-2x}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{1-2x}=3\sqrt{3x}\)
đk: \(\left\{{}\begin{matrix}1-2x\ge0\\3x\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le\frac{1}{2}\\x\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow0\le x\le\frac{1}{2}\)
pt tương đương: \(1-2x=9.3x\)
\(\Leftrightarrow29x=1\Rightarrow x=\frac{1}{29}\left(TM\right)\)
e. \(\sqrt{x^2-9}-\sqrt{4x-12}=0\)
đk: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-3\right)\left(x+3\right)\ge0\\4x-12\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\ge3\)
pt đã cho tương đương với
\(\sqrt{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}-\sqrt{4\left(x-3\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x-3}.\sqrt{x+3}-2\sqrt{x-3}=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x-3}.\left(\sqrt{x+3}-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x-3}=0\\\sqrt{x+3}-2=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-3=0\Rightarrow x=3\left(TM\right)\\\sqrt{x+3}=2\Leftrightarrow x+3=4\Rightarrow x=1\left(KTM\right)\end{matrix}\right.\)
\(A=\sqrt{\left(x+4\right)^2}+\sqrt{\left(4-x\right)^2}\)
\(A=\left|x+4\right|+\left|4-x\right|\ge\left|x+4+4-x\right|=8\)
\(A_{min}=8\) khi \(-4\le x\le4\)