Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1) Để ý rằng : \(x\sqrt{x}-1=\sqrt{x^3}-\sqrt{1^3}=\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)\)
\(P=\frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{1-\sqrt{x}}\)
\(P=\frac{x+2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}+\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}-\frac{x+\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\)
\(P=\frac{x+2+x-1-x-\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\)
\(P=\frac{x-\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\)
\(P=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\)
\(P=\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}\)
2) \(x=28-6\sqrt{3}=\left(3\sqrt{3}-1\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}=3\sqrt{3}-1\)
Thay vào P ta được :
\(P=\frac{3\sqrt{3}-1}{28-6\sqrt{3}+3\sqrt{3}-1+1}\)
\(P=\frac{3\sqrt{3}-1}{28-3\sqrt{3}}\)
3) \(P=\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}< \frac{1}{3}\)
\(\Leftrightarrow x+\sqrt{x}+1>3\sqrt{x}\)
\(\Leftrightarrow x-2\sqrt{x}+1>0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)^2>0\)
BĐT cuối luôn đúng \(\forall x>1\)
Ta có đpcm
4) \(P=\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}=\frac{2}{7}\)
\(\Leftrightarrow2x+2\sqrt{x}+2=7\sqrt{x}\)
\(\Leftrightarrow2x-5\sqrt{x}+2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-2\right)\left(2\sqrt{x}-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\\x=\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\)
Vậy...
5) \(P=\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}\)
\(\Leftrightarrow Px+P\sqrt{x}+P=\sqrt{x}\)
\(\Leftrightarrow x\cdot P+\sqrt{x}\left(P-1\right)+P=0\)
Phương trình trên có nghiệm khi \(\Delta\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(P-1\right)^2-4P^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow P^2-2P+1-4P^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow-3P^2-2P+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow-3\left(P^2+\frac{2}{3}P-\frac{1}{3}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow P^2+\frac{2}{3}P-\frac{1}{3}\le0\)
\(\Leftrightarrow P^2+2\cdot P\cdot\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{4}{9}\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(P+\frac{1}{3}\right)^2\le\left(\frac{2}{3}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow P+\frac{1}{3}\le\frac{2}{3}\)
\(\Leftrightarrow P\le\frac{1}{3}\)
Vậy \(maxP=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=1\)??
Đoạn này sai sai ta ?
A=\(\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}-\frac{1}{x+\sqrt{x}}\right)\):\(\left(\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{2}{x-1}\right)\)Đk x>0 x#0 x#1
=\(\frac{x-1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x-1}\right)}\):\(\frac{\sqrt{x}-1+2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)
=\(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}:\frac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x-1}\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)
=\(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}:\frac{1}{\sqrt{x}-1}\)
=\(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}.\sqrt{x}-1\)
=\(\frac{x-1}{\sqrt{x}}\)
Ta có 3+\(2\sqrt{2}=\left(\sqrt{2}+1\right)^2\)(thay và A ta dc
=>\(\frac{3+2\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}\)
= \(\frac{2\sqrt{2}+2}{\sqrt{2}+1}\)
=2
mk nhầm....\(\frac{x-1}{\sqrt{x}}>0\)=> \(x-1>0\Rightarrow x>1\)
mk làm r nhé
a) \(ĐKXĐ:\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\ne9\end{cases}}\)
\(M=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}+\frac{3-11\sqrt{x}}{9-x}\)
\(=\frac{2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}+\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}+\frac{11\sqrt{x}-3}{x-9}\)
\(=\frac{2x-6\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}+\frac{x+4\sqrt{x}+3}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}+\frac{11\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)
\(=\frac{2x-6\sqrt{x}+x+4\sqrt{x}+3+11\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)
\(=\frac{3x+9\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}=\frac{3\sqrt{x}.\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}=\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}\)
b) Ta có: \(x=\sqrt{\sqrt{3}-\sqrt{4-2\sqrt{3}}}=\sqrt{\sqrt{3}-\sqrt{3-2\sqrt{3}+1}}\)
\(=\sqrt{\sqrt{3}-\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}}=\sqrt{\sqrt{3}-\left|\sqrt{3}-1\right|}\)
\(=\sqrt{\sqrt{3}-\sqrt{3}+1}=\sqrt{1}=1\)( thỏa mãn ĐKXĐ )
Thay \(x=1\)vào M ta được:
\(M=\frac{3\sqrt{1}}{\sqrt{1}-3}=\frac{3}{1-3}=\frac{-3}{2}\)
c) \(M=\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}=\frac{3\sqrt{x}-9+9}{\sqrt{x}-3}=\frac{3\left(\sqrt{x}-3\right)+9}{\sqrt{x}-3}=3+\frac{9}{\sqrt{x}-3}\)
Vì \(x\inℕ\)\(\Rightarrow\)Để M là số tự nhiên thì \(\frac{9}{\sqrt{x}-3}\inℕ\)
\(\Rightarrow9⋮\left(\sqrt{x}-3\right)\)\(\Rightarrow\sqrt{x}-3\inƯ\left(9\right)\)(1)
Vì \(x\ge0\)\(\Rightarrow\sqrt{x}\ge0\)\(\Rightarrow\sqrt{x}-3\ge-3\)(2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\sqrt{x}-3\in\left\{-3;-1;1;3;9\right\}\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}\in\left\{0;2;4;6;12\right\}\)\(\Rightarrow x\in\left\{0;4;16;36;144\right\}\)( thỏa mãn ĐKXĐ )
Thử lại với \(x=4\)ta thấy M không là số tự nhiên
Vậy \(x\in\left\{0;16;36;144\right\}\)
Ta có:
\(\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+3}=\frac{2\left(\sqrt{x}+3\right)-7}{\sqrt{x}+3}=2-\frac{7}{\sqrt{x}+3}\)
Vì x nguyên nên để biểu thức trên có giá trị nguyên thì:
\(7⋮\sqrt{x}+3\\ \Leftrightarrow\sqrt{x}+3\inƯ_{\left(7\right)}.Mà\sqrt{x}+3\ge3nên:\\ \Rightarrow\sqrt{x}+3=7\\ \Leftrightarrow\sqrt{x}=4\\ \Leftrightarrow x=16\\ Vậy...\)
1. Phương pháp 1: ( Hình 1)
Nếu thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.
2. Phương pháp 2: ( Hình 2)
Nếu AB // a và AC // a thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.
(Cơ sở của phương pháp này là: tiên đề Ơ – Clit- tiết 8- hình 7)
3. Phương pháp 3: ( Hình 3)
Nếu AB a ; AC A thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.
( Cơ sở của phương pháp này là: Có một và chỉ một đường thẳng
a’ đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước
- tiết 3 hình học 7)
Hoặc A; B; C cùng thuộc một đường trung trực của một
đoạn thẳng .(tiết 3- hình 7)
4. Phương pháp 4: ( Hình 4)
Nếu tia OA và tia OB là hai tia phân giác của góc xOy
thì ba điểm O; A; B thẳng hàng.
Cơ sở của phương pháp này là:
Mỗi góc có một và chỉ một tia phân giác .
* Hoặc : Hai tia OA và OB cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox ,
thì ba điểm O, A, B thẳng hàng.
5. Nếu K là trung điểm BD, K’ là giao điểm của BD và AC. Nếu K’
Là trung điểm BD thì K’ K thì A, K, C thẳng hàng.
(Cơ sở của phương pháp này là: Mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm)
C. Các ví dụ minh họa cho tùng phương pháp:
Phương pháp 1
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông ở A, M là trung điểm AC. Kẻ tia Cx vuông góc CA
(tia Cx và điểm B ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC). Trên tia Cx lấy điểm
D sao cho CD = AB.
Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng.
Gợi ý: Muốn B, M, D thẳng hàng cần chứng minh
Do nên cần chứng minh
BÀI GIẢI:
AMB và CMD có:
AB = DC (gt).
MA = MC (M là trung điểm AC)
Do đó: AMB = CMD (c.g.c). Suy ra:
Mà (kề bù) nên .
Vậy ba điểm B; M; D thẳng hàng.
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của AB lấy điểm D mà AD = AB, trên tia đối
tia AC lấy điểm E mà AE = AC. Gọi M; N lần lượt là các điểm trên BC và ED
sao cho CM = EN.
Chứng minh ba điểm M; A; N thẳng hàng.
Gợi ý: Chứng minh từ đó suy ra ba điểm M; A; N thẳng hàng.
BÀI GIẢI (Sơ lược)
ABC = ADE (c.g.c)
ACM = AEN (c.g.c)
Mà (vì ba điểm E; A; C thẳng hàng) nên
Vậy ba điểm M; A; N thẳng hàng (đpcm)
BÀI TẬP THỰC HÀNH CHO PHƯƠNG PHÁP 1
Bài 1: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC, trên tia đối
của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BE và
CD.
Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng.
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông ở A có . Vẽ tia Cx BC (tia Cx và điểm A ở
phía ở cùng phía bờ BC), trên tia Cx lấy điểm E sao cho CE = CA. Trên tia đối của tia
BC lấy điểm F sao cho BF = BA.
Chứng minh ba điểm E, A, F thẳng hàng.
Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, điểm D thuộc cạnh AB. Trên tia đối của tia CA lấy điểm
E sao cho CE = BD. Kẻ DH và EK vuông góc với BC (H và K thuộc đường thẳng BC)
Gọi M là trung điểm HK.
Chứng minh ba điểm D, M, E thẳng hàng.
Bài 4: Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB, kẻ
Hai tia Ax và By sao cho .Trên Ax lấy hai điểm C và E(E nằm giữa A và C),
trên By lấy hai điểm D và F ( F nằm giữa B và D) sao cho AC = BD, AE = BF.
Chứng minh ba điểm C, O, D thẳng hàng , ba điểm E, O, F thẳng hàng.
Bài 5.Cho tam giác ABC . Qua A vẽ đường thẳng xy // BC. Từ điểm M trên cạnh BC, vẽ các
đường thẳng song song AB và AC, các đường thẳng này cắt xy theo thứ tự tại D và E.
Chứng minh các đường thẳng AM, BD, CE cùng đi qua một điểm.
PHƯƠNG PHÁP 2
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB. Trên
Các đường thẳng BM và CN lần lượt lấy các điểm D và E sao cho M là trung
điểm BD và N là trung điểm EC.
Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng hàng.
Hướng dẫn: Xử dụng phương pháp 2
Ta chứng minh AD // BC và AE // BC.
BÀI GIẢI.
BMC và DMA có:
MC = MA (do M là trung điểm AC)
(hai góc đối đỉnh)
MB = MD (do M là trung điểm BD)
Vậy: BMC = DMA (c.g.c)
Suy ra: , hai góc này ở vị trí so le trong nên BC // AD (1)
Chứng minh tương tự : BC // AE (2)
Điểm A ở ngoài BC có một và chỉ một đường thẳng song song BC nên từ (1)
và (2) và theo Tiên đề Ơ-Clit suy ra ba điểm E, A, D thẳng hàng.
Ví dụ 2: Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tai trung điểm O của mỗi đoạn. Trên tia
AB lấy lấy điểm M sao cho B là trung điểm AM, trên tia AD lấy điểm N sao cho
D là trung điểm AN.
1/ \(x^3+2=3\sqrt[3]{3x-2}\)
Đặt \(\sqrt[3]{3x-2}=a\) thì ta có hệ
\(\hept{\begin{cases}x^3+2-3a=0\\a^3+2-3x=0\end{cases}}\)
Lấy trên - dưới ta được
\(x^3-a^3+3x-3a=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-a\right)\left(x^2+ax+a^2+3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=a\)
\(\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{3x-2}\)
\(\Leftrightarrow x^3-3x+2=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=-2\end{cases}}\)
Ta có:
\(\left(\sqrt{x}+3\right):\left(\sqrt{x}-2\right)=1\) dư 5;
=> \(\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}=1+\frac{5}{\sqrt{x}-2}\)
Để biểu thức có giá trị nguyên thì 5 phải chia hết cho \(\sqrt{x}-2\);
=> \(\sqrt{x}-2\) ∈ Ư(5) => \(\sqrt{x}-2\) ∈ {\(\pm1;\pm5\)};
=> \(\sqrt{x}-2=1\) => x = 9;
\(\sqrt{x}-2=-1\) => x =1;
\(\sqrt{x}-2=5\) => x = 49;
\(\sqrt{x}-2=-5\) => x = \(-\sqrt{9}\)
=> Vậy x ∈ {\(-\sqrt{9}\); 1; 9; 49} thì biểu thức có giá trị nguyên;
đặt phép chia như bình thường , căn x+3 chia căn x -2 sẽ được kết quả là 1 và dư 5.
=> để c có gt nguyên thì căn x+3 chia hết cho căn x-2 hay căn x -2 phải là ước của 5. mà ư(5)= +-1, +-5
=> Căn x -2= 1 ...
căn x-2=-1
tính ra kết quả x rồi đối chiếu điều kiện..
bạn làm tương tự với câu sau là dk