Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 1; và a, b, c ≥ 0
=> a - 1 ≤ 0 ; b - 1 ≤ 0
=> ( a - 1 )( b - 1 ) ≥ 0
=> ab - a - b + 1 ≥ 0
=> ab + 1 ≥ a + b
=>\(\frac{1}{ab+1}\le\frac{1}{a+b}\) => \(\frac{c}{ab+1}\le\frac{c}{a+b}\) (1)
Chứng Minh Tương Tự: => \(\frac{a}{bc+1}\le\frac{a}{a+b}\) (2)
và \(\frac{b}{ac+1}\le\frac{b}{a+c}\) (3)
Từ (1); (2) và (3) =>
\(\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\le\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\)\(\le\frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}\)
=> \(\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\le\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)( ĐPCM )
Ta có : a<b => a+a < a+b
=> 2a < a+b (1)
c<d => c+c < c+d
=> 2c < c+d (2)
m<n => m+m < m+n
=> 2m < m+n (3)
Từ (1); (2) và (3). => 2a + 2c +2m < a+b+c+d+m+n
=> 2(a+c+m) < a+b+c+d+m+n
=> \(\frac{a+c+m}{a+b+c+d+m+n}\)< \(\frac{1}{2}\)( đpcm)
Vì a<b;c<d;m<n
=>a+c+m<b+d+n
=>a+a+c+c+m+m<a+b+c+d+m+n
=>2a+2c+2m<a+b+c+d+m+n
=>2(a+c+m)<a+b+c+d+m+n
=>\(\frac{a+c+m}{2\left(a+c+m\right)}>\frac{a+c+m}{a+b+c+d+m+n}\)
=>\(\frac{a+c+m}{a+b+c+d+m+n}<\frac{1}{2}\)
=>
ĐPCM.
l-i-k-e cho mình nha bạn.
Bài giải
Ta có : \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1\cdot2}\) ; \(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2\cdot3}\) ; ..... ; \(\frac{1}{9^2}< \frac{1}{8\cdot9}\)
\(\Rightarrow A=\text{ }\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{9^2}< \frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+..+\frac{1}{8\cdot9}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{8}-\frac{1}{9}\)
\(=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}\) \(^{\left(1\right)}\)
Ta có : \(\frac{1}{2^2}>\frac{1}{2\cdot3}\) ; \(\frac{1}{3^2}>\frac{1}{3\cdot4}\) ; ..... ; \(\frac{1}{9^2}>\frac{1}{9\cdot10}\)
\(\Rightarrow A=\text{ }\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{9^2}>\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{9\cdot10}=\frac{1}{2}-\frac{1}{10}=\frac{2}{5}\) \(^{\left(2\right)}\)
Từ \(^{\left(1\right)}\) và \(^2\)
\(\Rightarrow\text{ }\frac{2}{5}< A< \frac{8}{9}\) \(\left(ĐPCM\right)\)
Ta có : \(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{9^2}\)
\(=\frac{1}{2\times2}+\frac{1}{3\times3}+\frac{1}{4\times4}+...+\frac{1}{9\times9}< \frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}+...+\frac{1}{8\times9}\)
\(=\frac{2-1}{1\times2}+\frac{3-2}{2\times3}+\frac{4-3}{3\times4}+...+\frac{9-8}{8\times9}\)
\(=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{8}-\frac{1}{9}\)
\(=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}\)
\(\Rightarrow A< \frac{8}{9}\left(1\right)\)
Ta có: \(A=\frac{1}{2\times2}+\frac{1}{3\times3}+\frac{1}{4\times4}+...+\frac{1}{9\times9}>\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}+\frac{1}{4\times5}+...+\frac{1}{9\times10}\)
\(=\frac{3-2}{2\times3}+\frac{4-3}{3\times4}+\frac{5-4}{4\times5}+...+\frac{10-9}{9\times10}\)
\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}\)
\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{10}=\frac{2}{5}\)
\(\Rightarrow A>\frac{2}{5}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) --> \(\frac{2}{5}< A< \frac{8}{9}\left(đpcm\right)\)
Các bạn nhớ k đúng mình nha (nếu đúng)
Cái này dùng tích chéo nha bạn
a(b+d)<b(a+c) a/b<(b+d)/(a+c)
\(\frac{3}{1^2.2^2}+\frac{5}{2^2.3^2}+....+\frac{4031}{2015^2.2016^2}=\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}-.....-\frac{1}{2016^2}=1-\frac{1}{2016^2}\)
\(\frac{1}{2016^2}>0\Rightarrow A< 1\left(ĐPCM\right)\)
bạn chờ xíu mk lm câu sau nha
#)Giải :
Câu 1 :
a)
- Nếu a = 0 => b = 0 hoặc b - c = 0 => b = c hoặc b = c ( đều vô lí ) => a khác 0
- Nếu b = 0 => a = 0 ( vô lí ) => b khác 0
=> c = 0
=> |a| = b2.b = b3
=> b3 ≥ 0
=> b là số nguyên dương
=> a là số nguyên âm
Vậy a là số nguyên dương, b là số nguyên âm và c = 0
Ta có: 0≤a≤b≤1⇒\hept{a−1≥0b−1≥00≤a≤b≤1⇒\hept{a−1≥0b−1≥0
⇒(a−1)(b−1)≥0⇔ab−a−b+1≥0⇒(a−1)(b−1)≥0⇔ab−a−b+1≥0
⇔ab+1≥a+b⇔cab+1≤ca+b⇔ab+1≥a+b⇔cab+1≤ca+b(Vì c≥0c≥0)
Mà ca+b≤c+ca+b+c=2ca+b+cca+b≤c+ca+b+c=2ca+b+c(Vì c≥0c≥0)
⇒cab+1≤2ca+b+c⇒cab+1≤2ca+b+c
Chứng minh tương tự: bbc+1≤2ba+b+c;cab+1≤2ca+b+cbbc+1≤2ba+b+c;cab+1≤2ca+b+c
⇒abc+1+bbc+1+cab+1≤2(a+b+c)a+b+c=2(đpcm)
Ta có: 0 ≤ c ≤ 1 => 1-c ≥ 0
0 ≤ b ≤ 1 => 1-b ≥ 0
=> (1-b)(1-c) ≥ 0
<=> 1 - b - c + bc ≥ 0
<=> bc + 1 ≥ b + c
Ta lại có 0 ≤ b ≤ c ≤ 1 => bc ≥ 0
0 ≤ a ≤ 1 => 1 ≥ a
Cộng vế theo vế:
bc + 1 + bc + 1 ≥ a + b + c + 0
<=> 2(bc + 1) ≥ a + b + c
=> 12(bc+1)12(bc+1) ≤ 1a+b+c1a+b+c
<=> 2a2(bc+1)2a2(bc+1) ≤ 2aa+b+c2aa+b+c
<=> abc+1abc+1 ≤ 2aa+b+c2aa+b+c (1)
Tương tự như trên ta sẽ chứng minh được:
bac+1bac+1 ≤ 2ba+b+c2ba+b+c (2)
cab+1cab+1 ≤ 2ca+b+c2ca+b+c (3)
Cộng vế theo vế các đẳng thức (1) , (2) va (3) ta được:
abc+1abc+1 + bac+1bac+1 + cab+1cab+1 ≤ 2aa+b+c2aa+b+c + 2ba+b+c2ba+b+c + 2ca+b+c2ca+b+c
<=> abc+1abc+1 + bac+1bac+1 + cab+1cab+1 ≤ 2a+2b+2ca+b+c2a+2b+2ca+b+c
<=> abc+1abc+1 + bac+1bac+1 + cab+1cab+1 ≤ 2(a+b+c)a+b+c2(a+b+c)a+b+c
<=> abc+1abc+1 + bac+1bac+1 + cab+1cab+1 ≤ 2 (đpcm)