NH
3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
KN
11 tháng 10 2020
Ta có: \(P=\frac{\sqrt{yz}}{x+2\sqrt{yz}}+\frac{\sqrt{zx}}{y+2\sqrt{zx}}+\frac{\sqrt{xy}}{z+2\sqrt{xy}}=\frac{1}{\frac{x}{\sqrt{yz}}+2}+\frac{1}{\frac{y}{\sqrt{zx}}+2}+\frac{1}{\frac{z}{\sqrt{xy}}+2}\)
Đặt \(\frac{x}{\sqrt{yz}}=c,\frac{y}{\sqrt{zx}}=t;\frac{z}{\sqrt{xy}}=k\left(c,t,k>0\right)\)thì ctk = 1
Ta cần tìm giá trị lớn nhất của \(P=\frac{1}{c+2}+\frac{1}{t+2}+\frac{1}{k+2}\)với ctk = 1
Dự đoán MaxP = 1 khi c = t = k = 1
Thật vậy: \(P=\frac{kt+2k+2t+4+ct+2c+2t+4+ck+2c+2k+4}{\left(c+2\right)\left(t+2\right)\left(k+2\right)}=\frac{\left(kt+tc+ck\right)+4\left(c+t+k\right)+12}{ctk+2\left(kt+tc+ck\right)+4\left(c+t+k\right)+8}\le\frac{\left(kt+tc+ck\right)+4\left(c+t+k\right)+12}{1+\left(kt+tc+ck\right)+3\sqrt[3]{\left(ctk\right)^2}+4\left(c+t+k\right)+8}=1\)Đẳng thức xảy ra khi x = y = z
11 tháng 10 2020
Ta có: \(\frac{\sqrt{yz}}{x+2\sqrt{yz}}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{x}{x+2\sqrt{yz}}\right)\le\frac{1}{2}\left(1-\frac{x}{x+y+z}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{y+z}{x+y+z}\right)\)(bđt cosi) (1)
CMTT: \(\frac{\sqrt{xz}}{y+2\sqrt{xz}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{x+z}{x+y+z}\right)\)(2)
\(\frac{\sqrt{xy}}{z+2\sqrt{xy}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{x+y}{x+y+z}\right)\)(3)
Từ (1), (2) và (3) cộng vế theo vế ta có:
\(\frac{\sqrt{yz}}{x+2\sqrt{yz}}+\frac{\sqrt{xz}}{y+2\sqrt{xz}}+\frac{\sqrt{xy}}{z+2\sqrt{xy}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{y+z}{x+y+z}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{x+z}{x+y+z}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{x+y}{x+y+z}\right)\)
=> P \(\le\frac{1}{2}\left(\frac{y+z+x+z+x+y}{x+y+z}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}=1\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z
Vậy MaxP = 1 <=> x = y = z
20 tháng 2 2018
Theo bđt Bunhiacopxki ta có : \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(z^2+x^2+y^2\right)\ge\left(xy+yz+xz\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge\left|xy+yz+xz\right|\ge xy+yz+xz\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz\ge3\left(xy+yz+xz\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+xz\right)\)
\(\Rightarrow xy+yz+xz\le\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\dfrac{3^2}{3}=3\) có GTLN là 3
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
20 tháng 4 2017
a)Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2=3^2=9\)
\(\Rightarrow3A\ge9\Rightarrow A\ge3\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)
b)Ta có BĐT \(3\left(ab+bc+ca\right)\le\left(a+b+c\right)^2\Leftrightarrow-\left(a+b+c\right)^2\le0\)
\(\Rightarrow3B\le\left(x+y+z\right)^2=3^2=9\)
\(\Rightarrow B\le3\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 3 2019
Đầu tiên, có vẻ bạn chép nhầm đề, chắc chắn P không có giá trị lớn nhất (bạn chỉ cần cho 1 số giá trị cực nhỏ, 2 số kia lớn hơn 1 thì P sẽ vô cùng lớn, ví dụ, với \(z=0.00000001\) và \(x=y=\frac{10-z}{2}\) bấm máy tính thử sẽ thấy).
Cho nên, mình nghĩ đề đúng là tìm GTNN,:
Do lớp 8 có vẻ chưa học Cauchy nên ta chứng minh 1 BĐT phụ trước:
Với các số thực dương \(a;b\) ta luôn có \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
Thật vậy, biến đổi tương đương BĐT trên:
\(\frac{a^2+b^2}{ab}\ge2\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT được chứng minh, dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)
Áp dụng vào bài toán, ta có:
\(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}=y\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)\ge2y\)
\(\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}=x\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)\ge2x\)
\(\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}=z\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)\ge2z\)
Cộng vế với vế:
\(2P\ge2\left(x+y+z\right)=20\Rightarrow P\ge10\)
Vậy \(P_{min}=10\) khi \(x=y=z=\frac{10}{3}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 9 2024
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
$\frac{1}{6x+y+z}\leq \frac{1}{64}(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=\frac{1}{64}(\frac{6}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$
Tương tự:
$\frac{1}{x+6y+z}\leq \frac{1}{64}(\frac{1}{x}+\frac{6}{y}+\frac{1}{z})$
$\frac{1}{x+y+6z}\leq \frac{1}{64}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{6}{z})$
Cộng theo vế các BĐT trên và thu gọn thì:
$A\leq \frac{1}{64}(\frac{8}{x}+\frac{8}{y}+\frac{8}{z})=\frac{1}{8}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=\frac{xy+yz+xz}{8xyz}=\frac{4xyz}{8xyz}=\frac{1}{2}$
Vậy $A_{\max}=\frac{1}{2}$
Giá trị này đạt tại $x=y=z=\frac{3}{4}$
9 tháng 9 2019
1/a/
\(A=\frac{2}{xy}+\frac{3}{x^2+y^2}=\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xy}+\frac{4}{x^2+y^2}\right)-\frac{1}{x^2+y^2}\)
\(\ge\frac{\left(1+1+2\right)^2}{\left(x+y\right)^2}-\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}=16-2=14\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
9 tháng 9 2019
b/
\(4B=\frac{4}{x^2+y^2}+\frac{8}{xy}+16xy=\left(\frac{4}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{xy}\right)+\left(\frac{1}{xy}+16xy\right)+\frac{5}{xy}\)
\(\ge\frac{\left(1+1+2\right)^2}{\left(x+y\right)^2}+2\sqrt{\frac{1}{xy}.16xy}+\frac{5}{\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}\)
\(=16+8+20=44\)
\(\Rightarrow B\ge11\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
15 tháng 10 2020
a) Áp dụng bđt AM-GM: \(+\hept{\begin{cases}x^2+y^2\ge2xy\\y^2+z^2\ge2yz\\z^2+x^2\ge2zx\end{cases}}\)\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xay ra khi \(x=y=z\)
b) Bổ đề; \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
Áp dụng : \(A=x^2+y^2+z^2\ge\frac{3^2}{3}=3\). Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
c) Bổ đề: \(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
Áp dụng: \(B\le\frac{3^2}{3}=3\). Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
d) \(A+B=x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx=\left(x+y+z\right)^2-\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\ge\left(x+y+z\right)^2-\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
\(=\frac{2}{3}\left(x+y+z\right)^2=6\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
KN
15 tháng 10 2020
Bài này tuy dễ nhưng hơi loằng ngoằng giữa các câu :))
a. Cách phổ thông : x2 + y2 + z2\(\ge\)xy + yz + zx
<=> 2 ( x2 + y2 + z2 )\(\ge\)2 ( xy + yz + zx )
<=> ( x2 - 2xy + y2 ) + ( y2 - 2yz + z2 ) + ( z2 - 2zx + x2 )\(\ge\)0
<=> ( x - y )2 + ( y - z )2 + ( z - x )2\(\ge\)0 ( * )
Vì ( x - y )2 \(\ge\)0 ; ( y - z )2 \(\ge\)0 ; ( z - x )2\(\ge\)0\(\forall\)x ; y ; z
=> ( * ) đúng
=> A\(\ge\)B ; dấu "=" xảy ra <=> x = y = z
b. Xài Cauchy cho mới
( x2 + y2 + z2 ) ( 12 + 12 + 12 )\(\ge\)( x + y + z )2 = 32 = 9
<=> 3 ( x2 + y2 + z2 )\(\ge\)9
<=> x2 + y2 + z2\(\ge\)3
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1
Vậy minA = 3 <=> x = y = z = 1
c. Theo câu a và câu b ta có : 3 ( xy + yz + zx )\(\le\)( x + y + z )2 = 32 = 9
<=> xy + yz + zx\(\le\)3
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = 1
Vậy maxB = 3 <=> x = y = 1
d. x + y + z = 3 . BP 2 vế ta được
x2 + y2 + z2 + 2( xy + yz + zx ) = 9
Hay A + 2B = 9 . Mà B\(\le\)3 ( câu b )
=> A + B \(\ge\)6
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1
Vậy min A + B = 6 <=> x = y = z = 1
Ta có : \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2.\left(xy+yz+zx\right)\ge xy+yz+zx+2.\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3.\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\frac{3^2}{3}=2\)
Hay : \(B\le3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Vậy \(GTLN\) của \(B=3\) khi \(x=y=z=1\)
Ta có bất đẳng thức sau : \(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\)
\(< =>2\left(xy+yz+zx\right)\le2\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(< =>2xy+2yz+2zx\le2x^2+2y^2+2z^2\)
\(< =>2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)
\(< =>\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)\ge0\)
\(< =>\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)*đúng*
Khi đó ta được bất đăng thức \(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\)
\(< =>3\left(xy+yz+zx\right)\le\left(x+y+z\right)^2=3^2=9\)
\(< =>xy+yz+zx\le\frac{9}{3}=3\) Tương đương \(B\le3\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1\)
Vậy GTLN của B = 3 đạt được khi x = y = z = 1