TT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
T
9 tháng 8 2019
2) Theo nguyên lí Dirichlet, trong ba số \(a^2-1;b^2-1;c^2-1\) có ít nhất hai số nằm cùng phía với 1.
Giả sử đó là a2 - 1 và b2 - 1. Khi đó \(\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\ge0\Leftrightarrow a^2b^2-a^2-b^2+1\ge0\)
\(\Rightarrow a^2b^2+3a^2+3b^2+9\ge4a^2+4b^2+8\)
\(\Rightarrow\left(a^2+3\right)\left(b^2+3\right)\ge4\left(a^2+b^2+2\right)\)
\(\Rightarrow\left(a^2+3\right)\left(b^2+3\right)\left(c^2+3\right)\ge4\left(a^2+b^2+1+1\right)\left(1+1+c^2+1\right)\) (2)
Mà \(4\left[\left(a^2+b^2+1+1\right)\left(1+1+c^2+1\right)\right]\ge4\left(a+b+c+1\right)^2\) (3)(Áp dụng Bunhicopxki và cái ngoặc vuông)
Từ (2) và (3) ta có đpcm.
Sai thì chịu
T
9 tháng 8 2019
Xí quên bài 2 b:v
b) Không mất tính tổng quát, giả sử \(\left(a^2-\frac{1}{4}\right)\left(b^2-\frac{1}{4}\right)\ge0\)
Suy ra \(a^2b^2-\frac{1}{4}a^2-\frac{1}{4}b^2+\frac{1}{16}\ge0\)
\(\Rightarrow a^2b^2+a^2+b^2+1\ge\frac{5}{4}a^2+\frac{5}{4}b^2+\frac{15}{16}\)
Hay \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\ge\frac{5}{4}\left(a^2+b^2+\frac{3}{4}\right)\)
Suy ra \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge\frac{5}{4}\left(a^2+b^2+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+c^2+\frac{1}{2}\right)\)
\(\ge\frac{5}{4}\left(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}c+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{5}{16}\left(a+b+c+1\right)^2\) (Bunhiacopxki) (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
T
10 tháng 7 2019
Bài 1:Thêm đk a > b > 0
\(VT=a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}=\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\)
Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số dương ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi \(a-b=b=\frac{1}{b\left(a-b\right)}\Leftrightarrow a=2;b=1\)
Bài 2: BĐT \(\Leftrightarrow\left(a-b\right)+\left(b+1\right)+\frac{4}{\left(a-b\right)\left(b+1\right)^2}\ge4\) (Thêm 1 vào hai vế +bớt + thêm b)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)+\frac{1}{2}\left(b+1\right)+\frac{1}{2}\left(b+1\right)+\frac{4}{\left(a-b\right)\left(b+1\right)^2}\ge4\) (tách \(b+1=\frac{1}{2}\left(b+1\right)+\frac{1}{2}\left(b+1\right)\))
Áp dụng BĐT Cô si cho 4 số dương ta thu được đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi \(a-b=\frac{1}{2}\left(b+1\right)=\frac{4}{\left(a-b\right)\left(b+1\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow a=2;b=1\) (chị giải rõ ra nha, em làm tắt thôi)
Bài 3 để sau ạ, có lẽ cần thêm đk b > 0. Khi đó a/ b > 1 tức là a > b và > 0
T
10 tháng 7 2019
Dự đoán điểm rơi tại a = 1; b = 1/2
Em nghĩ ra rồi nhưng ko chắc đâu.
Bài 3: Dễ thấy b > 0 => a > b > 0
Trước tiên cần giảm bậc cái đã:D
\(2a^3+1=a^3+a^3+1\ge3\sqrt[3]{a^6.1}=3a^2\)
Đẳng thức xảy ra khi a = 1 (1)
Do vậy: \(\frac{2a^3+1}{4b\left(a-b\right)}\ge\frac{3a^2}{4ab-4b^2}\). Do a > b > 0. Chia hai vế cho b2 ta được:
\(\frac{2a^3+1}{4b\left(a-b\right)}\ge\frac{3\left(\frac{a}{b}\right)^2}{4.\frac{a}{b}-4}=\frac{3t^2}{4t-4}\) với \(t=\frac{a}{b}>1\)
Ta cần chứng minh \(\frac{3t^2}{4t-4}\ge3\Leftrightarrow\frac{t^2}{4t-4}\ge1\Leftrightarrow t^2-4t+4\ge0\Leftrightarrow\left(t-2\right)^2\ge0\) (đúng)
Đẳng thức xảy ra khi a = 2b tức là theo (1) suy ra \(b=\frac{1}{2}\)
Ta có đpcm.
PN
12 tháng 7 2020
Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{a^2}{a+2b}+\frac{b^2}{b+2a}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{a+2b+b+2a}=\frac{\left(a+b\right)^2}{3\left(a+b\right)}\)
\(2\left(\frac{a^2}{2a+b}+\frac{b^2}{2b+a}\right)\ge2\left(\frac{\left(a+b\right)^2}{2a+b+2b+a}\right)=2.\frac{\left(a+b\right)^2}{3\left(a+b\right)}\)
Cộng theo vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được :
\(\left(\frac{a^2}{a+2b}+\frac{b^2}{b+2a}\right)+2\left(\frac{a^2}{2a+b}+\frac{b^2}{2b+a}\right)\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{3\left(a+b\right)}+2.\frac{\left(a+b\right)^2}{3\left(a+b\right)}\)
Vậy ta có ngay điều phải chứng minh
KN
1 tháng 8 2020
Xét \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}-\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=a-b\)
Tương tự, ta được: \(\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}-\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}=b-c\); \(\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}-\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}=c-a\)
Cộng theo vế của 3 đẳng thức trên, ta được: \(\left(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\right)\)\(-\left(\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\right)=0\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\)\(=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Ta đi chứng minh BĐT phụ sau: \(a^2-ab+b^2\ge\frac{1}{3}\left(a^2+ab+b^2\right)\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\ge0\)*đúng*
\(\Rightarrow2LHS=\Sigma_{cyc}\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}=\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}\)\(\ge\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\frac{1}{3}\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=\frac{1}{3}\text{}\Sigma_{cyc}\left[\left(a+b\right)\right]=\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\)
\(\Rightarrow LHS\ge\frac{a+b+c}{3}=RHS\)(Q.E.D)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
P/S: Có thể dùng BĐT phụ ở câu 3a để chứng minhxD:
27 tháng 7 2020
1) ta chứng minh được \(\Sigma\frac{a^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}=\Sigma\frac{b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\)
\(VT=\frac{1}{2}\Sigma\frac{a^4+b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\ge\frac{1}{4}\Sigma\frac{a^2+b^2}{a+b}\ge\frac{1}{8}\Sigma\left(a+b\right)=\frac{a+b+c+d}{4}\)
bài 2 xem có ghi nhầm ko
Có : (a-b)^2 >= 0
<=> a^2+b^2-2ab >= 0
<=>a^2+b^2 >= 2ab
<=>a^2+b^2+2ab >= 4ab
<=> (a+b)^2 >= 4ab
<=> ab <= (a+b)^2/4
Áp dụng bđt trên thì a^3+b^3/a = (a+b).(a^2+b^2-ab)/2 = (a+b).[ (a+b)^2-3ab ]/2 >= (a+b).[(a+b)^2-3/4(a+b)^2]/2 = (a+b).1/4(a+b)^2/2
= (a+b)^3/8 = (a+b/2)^3
=> ĐPCM
Dấu "=" xảy ra <=> a=b
k mk nha