Question

[Diệp Nguyễn Thị Huyền]

Cho tam giác ABC có diện tích S, O là điểm nằm trong tam giác. Qua O vẽ những đường thẳng song song với ba cạnh của tam giác.Các đường thẳng này chia tam giác ABC thành ba hình bình hành và ba tam giác nhỏ.Gọi diện tích của các tam giác đó là \(S_1,S_2,S_3\). Tìm \(min\left(S_1+S_2+S_3\right)\)            . 

Answer 1

[Đoàn Đức Hà]

Qua \(O\)có \(MN//BC,DE//AB,FH//AC\).

Dễ thấy các tam giác \(FMO,EON,ODH\)đồng dạng với tam giác \(ABC\). 

Đặt \(S_{ODH}=a^2,S_{EON}=b^2,S_{FMO}=c^2\).

Ta có: 

\(\frac{a^2}{S}=\left(\frac{DH}{BC}\right)^2\Leftrightarrow\frac{a}{\sqrt{S}}=\frac{DH}{BC}\)

\(\frac{b^2}{S}=\left(\frac{ON}{BC}\right)^2\Leftrightarrow\frac{b}{\sqrt{S}}=\frac{HC}{BC}\)

\(\frac{c^2}{S}=\left(\frac{MO}{BC}\right)^2\Leftrightarrow\frac{c}{\sqrt{S}}=\frac{BD}{BC}\)

suy ra \(\frac{a+b+c}{\sqrt{S}}=\frac{DH+HC+BD}{BC}=1\)

Do đó \(S=\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(S_1+S_2+S_3=S-\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge S-\frac{1}{3}S=\frac{2}{3}S\).