Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1
Đặt \(A=a^3+b^3+c^3-3(a-1)(b-1)(c-1)\)
Biến đổi:
\(A=a^3+b^3+c^3-3[abc-(ab+bc+ac)+a+b+c-1]=a^3+b^3+c^3-3abc+3(ab+bc+ac)-6\)
\(A=(a+b+c)^3-3[(a+b)(b+c)(c+a)+abc]-6+3(ab+bc+ac)\)
\(A=21-3(a+b+c)(ab+bc+ac)+3(ab+bc+ac)=21-6(ab+bc+ac)\)
Áp dụng BĐT Am-Gm:
\(3(ab+bc+ac)\leq (a+b+c)^2=9\Rightarrow ab+bc+ac\leq 3\)
\(\Rightarrow A\geq 21-6.3=3\). Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$
Vì \(0\leq a,b,c\leq2\Rightarrow (a-2)(b-2)(c-2)\leq 0\)
\(\Leftrightarrow abc-2(ab+bc+ac)+4\leq 0\Leftrightarrow 2(ab+bc+ac)\geq 4+abc\geq 0\Rightarrow ab+bc+ac\geq 2\)
\(\Rightarrow A\leq 21-6.2=9\). Dấu bằng xảy ra khi $(a,b,c)=(0,1,2)$ và các hoán vị.
Bài 2a)
Ta có
\(A=a^2+b^2+c^2=(a+1)^2+(b+1)^2+(c+1)^2-3-2(a+b+c)\)
\(\Leftrightarrow A=(a+b+c+3)^2-2[(a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)]-3\)
\(\Leftrightarrow A=6-2[(a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)]\)
Vì \(-1\leq a,b,c\leq 2\Rightarrow a+1,b+1,c+1\geq 0\)
\(\Rightarrow (a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)\geq 0\Rightarrow A\leq 6\)
Dấu bằng xảy ra khi \((a,b,c)=(-1,-1,2)\) và các hoán vị của nó
\(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=x\left(x+2\right)+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)
\(=2x^2+2x-1\)
Để \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}< 3\Leftrightarrow2x^2+2x-1< 3\)
\(\Leftrightarrow x^2+x-2< 0\Rightarrow-2< x< 1\)
\(\left(-\infty;9a\right)\cap\left(\frac{4}{a};+\infty\right)\ne\varnothing\Leftrightarrow9a>\frac{4}{a}\)
\(\Leftrightarrow a^2>\frac{4}{9}\Leftrightarrow a< -\frac{2}{3}\)
Ta có BĐT sau:\(\dfrac{1}{1-a^2}+\dfrac{1}{1-b^2}\ge\dfrac{2}{1-ab}\left(\forall a,b\in\left(0;1\right)\right)\)(*)
Cm:(*)\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(ab+1\right)\left(a-b\right)^2}{\left(1-a^2\right)\left(1-b^2\right)\left(1-ab\right)}\ge0\)( đúng vì 0<a,b<1)
\(VT=\dfrac{1}{2}\left[\sum\dfrac{2a^2}{1-a^2}\right]=\dfrac{1}{2}\left[\sum\left(\dfrac{2a^2}{1-a^2}+2\right)\right]-3\)
\(=\dfrac{1}{2}\left[\sum\left(\dfrac{2}{1-a^2}\right)\right]-3=\dfrac{1}{2}\sum\left(\dfrac{1}{1-a^2}+\dfrac{1}{1-b^2}\right)-3\ge\dfrac{1}{2}.\sum\dfrac{2}{1-ab}-3=1\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{2}\)
Đáp án A