\(a^3+b^3\ge\frac{\left(a+b\right)^3}{4}\)

1 tỷ tk luôn nha !!!!!!!!!

">
K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

31 tháng 1 2020

cho điều kiện a,b nữa. 

BĐT \(\Leftrightarrow4\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)^3\)

\(\Leftrightarrow3a^3+3b^3\ge3a^2b+3ab^2\Leftrightarrow3\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)

31 tháng 1 2020

à có a,b>0

23 tháng 5 2020

help me !!!!!!

23 tháng 5 2020

câu 6 là với mọi a,b,c lớn hơn hoặc bằng 1 nhé

10 tháng 7 2019

Bài 1:Thêm đk a > b > 0

\(VT=a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}=\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\)

Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số dương ta có đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi \(a-b=b=\frac{1}{b\left(a-b\right)}\Leftrightarrow a=2;b=1\)

Bài 2: BĐT \(\Leftrightarrow\left(a-b\right)+\left(b+1\right)+\frac{4}{\left(a-b\right)\left(b+1\right)^2}\ge4\) (Thêm 1 vào hai vế +bớt + thêm b)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)+\frac{1}{2}\left(b+1\right)+\frac{1}{2}\left(b+1\right)+\frac{4}{\left(a-b\right)\left(b+1\right)^2}\ge4\) (tách \(b+1=\frac{1}{2}\left(b+1\right)+\frac{1}{2}\left(b+1\right)\))

Áp dụng BĐT Cô si cho 4 số dương ta thu được đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi \(a-b=\frac{1}{2}\left(b+1\right)=\frac{4}{\left(a-b\right)\left(b+1\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow a=2;b=1\) (chị giải rõ ra nha, em làm tắt thôi)

Bài 3 để sau ạ, có lẽ cần thêm đk b > 0. Khi đó a/ b > 1 tức là a > b và > 0

10 tháng 7 2019

Dự đoán điểm rơi tại a = 1; b = 1/2

Em nghĩ ra rồi nhưng ko chắc đâu.

Bài 3: Dễ thấy b > 0 => a > b > 0

Trước tiên cần giảm bậc cái đã:D

\(2a^3+1=a^3+a^3+1\ge3\sqrt[3]{a^6.1}=3a^2\)

Đẳng thức xảy ra khi a = 1 (1)

Do vậy: \(\frac{2a^3+1}{4b\left(a-b\right)}\ge\frac{3a^2}{4ab-4b^2}\). Do a > b > 0. Chia hai vế cho b2 ta được:

\(\frac{2a^3+1}{4b\left(a-b\right)}\ge\frac{3\left(\frac{a}{b}\right)^2}{4.\frac{a}{b}-4}=\frac{3t^2}{4t-4}\) với \(t=\frac{a}{b}>1\)

Ta cần chứng minh \(\frac{3t^2}{4t-4}\ge3\Leftrightarrow\frac{t^2}{4t-4}\ge1\Leftrightarrow t^2-4t+4\ge0\Leftrightarrow\left(t-2\right)^2\ge0\) (đúng)

Đẳng thức xảy ra khi a = 2b tức là theo (1) suy ra \(b=\frac{1}{2}\)

Ta có đpcm.

24 tháng 5 2018

Bn thiếu đề nhé : \(DK:abc=1\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có :

\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}.\frac{1+b}{8}.\frac{1+c}{8}}=\frac{3}{4}a\)

Tương tự \(\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{1+c}{8}+\frac{1+a}{8}\ge\frac{3}{4}b\)

Và .\(\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}+\frac{1+a}{8}+\frac{1+b}{8}\ge\frac{3}{4}c\)

Cộng vế với vế của các bđt trên ta được :

\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}+\frac{c^3}{\left(1+b\right)\left(1+a\right)}+\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}+\frac{c^3}{\left(1+b\right)\left(1+a\right)}\ge\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{4}\)

\(\ge\frac{1}{2}.3\sqrt[3]{abc}-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{2}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}\) (ĐPCM)

13 tháng 10 2016

đi ,nt ,mình giải cho

13 tháng 10 2016

nt là gì

9 tháng 8 2019

2) Theo nguyên lí Dirichlet, trong ba số \(a^2-1;b^2-1;c^2-1\) có ít nhất hai số nằm cùng phía với 1.

Giả sử đó là a2 - 1 và b2 - 1. Khi đó \(\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\ge0\Leftrightarrow a^2b^2-a^2-b^2+1\ge0\)

\(\Rightarrow a^2b^2+3a^2+3b^2+9\ge4a^2+4b^2+8\)

\(\Rightarrow\left(a^2+3\right)\left(b^2+3\right)\ge4\left(a^2+b^2+2\right)\)

\(\Rightarrow\left(a^2+3\right)\left(b^2+3\right)\left(c^2+3\right)\ge4\left(a^2+b^2+1+1\right)\left(1+1+c^2+1\right)\) (2)

Mà \(4\left[\left(a^2+b^2+1+1\right)\left(1+1+c^2+1\right)\right]\ge4\left(a+b+c+1\right)^2\) (3)(Áp dụng Bunhicopxki và cái ngoặc vuông)

Từ (2) và (3) ta có đpcm.

Sai thì chịu

9 tháng 8 2019

Xí quên bài 2 b:v

b) Không mất tính tổng quát, giả sử \(\left(a^2-\frac{1}{4}\right)\left(b^2-\frac{1}{4}\right)\ge0\)

Suy ra \(a^2b^2-\frac{1}{4}a^2-\frac{1}{4}b^2+\frac{1}{16}\ge0\)

\(\Rightarrow a^2b^2+a^2+b^2+1\ge\frac{5}{4}a^2+\frac{5}{4}b^2+\frac{15}{16}\)

Hay \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\ge\frac{5}{4}\left(a^2+b^2+\frac{3}{4}\right)\)

Suy ra \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge\frac{5}{4}\left(a^2+b^2+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+c^2+\frac{1}{2}\right)\)

\(\ge\frac{5}{4}\left(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}c+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{5}{16}\left(a+b+c+1\right)^2\) (Bunhiacopxki) (đpcm)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)

áp dụng cô si ta...
Đọc tiếp

áp dụng cô si ta có:

+)\(\frac{a^5}{b^3}+\frac{a^3}{b}\ge\frac{2a^4}{b^2};\frac{b^5}{c^3}+\frac{b^3}{c}\ge\frac{2b^4}{c^2};\frac{c^5}{a^3}+\frac{c^3}{a}\ge\frac{2c^4}{a^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^5}{b^3}+\frac{b^5}{c^3}+\frac{c^5}{a^3}\ge2\left(\frac{a^4}{b^2}+\frac{b^4}{c^2}+\frac{c^4}{a^2}\right)-\left(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\right)\)

+)\(\frac{a^4}{b^2}+a^2\ge\frac{2a^3}{b};\frac{b^4}{c^2}+b^2\ge\frac{2b^3}{c};\frac{c^4}{a^2}+c^2\ge\frac{2C^3}{a}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^4}{b^2}+\frac{b^4}{c^2}+\frac{c^4}{a^2}\ge2\left(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

+)\(\frac{a^3}{b}+ab\ge2a^2;\frac{b^3}{c}+bc\ge2b^2;\frac{c^3}{a}+ca\ge2c^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^4}{b^2}+\frac{b^4}{c^2}+\frac{c^4}{a^2}\ge\left(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\right)+\left(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}-a^2-b^2-c^2\right)\ge\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^5}{b^3}+\frac{b^5}{c^3}+\frac{c^5}{a^3}\ge\left(\frac{a^4}{b^2}+\frac{b^4}{c^2}+\frac{c^4}{a^2}\right)+\left(\frac{a^4}{b^2}+\frac{b^4}{c^2}+\frac{c^4}{a^2}-\frac{a^3}{b}-\frac{b^3}{c}-\frac{c^3}{a}\right)\ge\left(\frac{a^4}{b^2}+\frac{b^4}{c^2}+\frac{c^4}{a^2}\right)\)

2
8 tháng 8 2017

Dảnh àk =))

8 tháng 8 2017

Cứ đăng đi - úng hộ ^^

1 tháng 10 2017

Đặt P = 1/a³(b + c) + 1/b³(a + c) +1/c³(a + b) 

= bc/a²(b + c) + ac/b²(a + c) + ab/c²(a + b) ------- (do abc = 1) 

= 1 / a²[(1/c) + (1/b)] + 1 / b²[(1/c) + (1/a)] + 1 / c²[(1/b) + (1/a)] 

= (1/a²) / [(1/c) + (1/b)] + (1/b²) / [(1/c) + (1/a)] + (1/c²) / [(1/b) + (1/a)] 

Đặt 1/a = x, 1/b = y, 1/c = z thì xyz = 1 

Và khi đó: 

P = x²/(y + z) + y²/(z + x) + z²/(x + y) 

Sử dụng BĐT Cauchy: 

♠ x²/(y + z) + (y + z)/4 ≥ x 

♠ y²/(z + x) + (z + x)/4 ≥ y 

♠ z²/(x + y) + (x + y)/4 ≥ z 

Cộng vế 3 BĐT trên ta được 

P + (x + y + z)/2 ≥ x + y + z 

Hay: 

P ≥ (x + y + z)/2 

Lại theo Cauchy thì x + y + z ≥ 3.³√(xyz) = 3 

Nên P ≥ 3/2 (và ta được đpcm)   

1 tháng 10 2017

https://olm.vn/hoi-dap/question/1036432.html

vào đây xem nhé,cách ngắn hơn

1 tháng 8 2020

Xét \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}-\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=a-b\)

Tương tự, ta được: \(\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}-\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}=b-c\)\(\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}-\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}=c-a\)

Cộng theo vế của 3 đẳng thức trên, ta được: \(\left(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\right)\)\(-\left(\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\right)=0\)

\(\Rightarrow\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\)\(=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)

Ta đi chứng minh BĐT phụ sau: \(a^2-ab+b^2\ge\frac{1}{3}\left(a^2+ab+b^2\right)\)(*)

Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\ge0\)*đúng*

\(\Rightarrow2LHS=\Sigma_{cyc}\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}=\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}\)\(\ge\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\frac{1}{3}\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=\frac{1}{3}\text{​​}\Sigma_{cyc}\left[\left(a+b\right)\right]=\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\)

\(\Rightarrow LHS\ge\frac{a+b+c}{3}=RHS\)(Q.E.D)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

P/S: Có thể dùng BĐT phụ ở câu 3a để chứng minhxD:

27 tháng 7 2020

1) ta chứng minh được \(\Sigma\frac{a^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}=\Sigma\frac{b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\)

\(VT=\frac{1}{2}\Sigma\frac{a^4+b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\ge\frac{1}{4}\Sigma\frac{a^2+b^2}{a+b}\ge\frac{1}{8}\Sigma\left(a+b\right)=\frac{a+b+c+d}{4}\)

bài 2 xem có ghi nhầm ko