Câu hỏi của Trần Đức Minh

Question

Cho (O;R) và (O'R') tiếp xúc nhau tại A. trên một nửa mặt phẳng bờ OO' vẽ các bán kính OB và O'C song song với nhau

Nguyễn Việt Lâm · Accepted Answer

a.

OB song song O'C $\Rightarrow\widehat{BOA}+\widehat{CO'A}=180^0$ (hai góc trong cùng phía)

Do $OA=OB=R$ và $O'A=O'C=R'$ nên các tam giác OAB và O'AC cân tại O và O'

$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\widehat{OAB}=\widehat{OBA}\\widehat{O'AC}=\widehat{O'CA}\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\widehat{OAB}=\dfrac{180^0-\widehat{BOA}}{2}\\widehat{O'AC}=\dfrac{180^0-\widehat{CO'A}}{2}\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow\widehat{BAC}=180^0-\left(\widehat{OAB}+\widehat{O'AC}\right)=180^0-\left(\dfrac{180^0-\widehat{BOA}}{2}+\dfrac{180^0-\widehat{CO'A}}{2}\right)$

$=180^0-\left(180^0-\dfrac{\widehat{BOA}+\widehat{CO'A}}{2}\right)=90^0$

$\Rightarrow\Delta ABC$ vuông tại A

b.

TH1:

Nếu $R=R'$ thì OBCO' là hình bình hành (cặp cạnh đối OB, O'C song song và bằng nhau)

$\Rightarrow BC||O'O\Rightarrow AH\perp O'O$

Từ B kẻ $BK\perp O'O\Rightarrow AHBK$ là hình chữ nhật (tức giác có 3 góc vuông)

$\Rightarrow AH=BK\le OB=R=R'$

Dấu "=" xảy ra khi K trùng O hay BC vuông góc OB $\Rightarrow BC$ là tiếp tuyến của (O)

TH2:

Nếu $R\ne R'$, không mất tính tổng quát giả sử $R>R'$

Kéo dài BC và O'O cắt nhau tại D

Từ O kẻ $OK\perp BC$

Áp dụng định lý Talet: $\dfrac{DO'}{DO}=\dfrac{OC'}{OB}=\dfrac{R'}{R}$

OK và AH cùng vuông góc BC $\Rightarrow OK||AH$

Áp dụng định lý Thales:

$\dfrac{AH}{OK}=\dfrac{DO'}{DO}=\dfrac{R'}{R}\Rightarrow AH=\dfrac{R'}{R}.OK$

$\Rightarrow AH_{max}$ khi $OK_{max}$

Mà $OK\perp BC\Rightarrow OK\le OB$ (đường vuông góc ko lớn hơn đường xiên)

$\Rightarrow OK_{max}=OB=R$

$\Rightarrow AH_{max}=\dfrac{R'}{R}.R=R'$

Dấu "=" xảy ra khi K trùng B hay BC là tiếp tuyến của (O)

Câu trả lời:

a.