Question

[văn hùng đinh]

Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn xy+1≤ x. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q=$\frac{x+y}{\sqrt{3x^2-xy+y^2}}$  

Answer 1

[Đặng Ngọc Quỳnh]

Ta có: \(Q=\frac{x+y}{\sqrt{3x^2-xy+y^2}}=\frac{1+\frac{y}{x}}{\sqrt{3-\frac{y}{x}+\left(\frac{y}{x}\right)^2}}=\frac{1+t}{\sqrt{3-t+t^2}}\left(t=\frac{y}{x}\right)\)

Từ xy+1\(\le x\Rightarrow\frac{y}{x}+\frac{1}{x^2}\le\frac{1}{x}\Rightarrow\frac{y}{x}\le\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{1}{4}-\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2}\right)^2\le\frac{1}{4}\Rightarrow0\le t\le\frac{1}{4}\)

Vì \(t\le\frac{1}{4}\Rightarrow1+t\le\frac{5}{4};3-t+t^2=\left(\frac{1}{2}-t\right)^2+\frac{11}{4}\ge\frac{45}{16}\)

\(\Rightarrow Q\le\frac{\frac{5}{4}}{\sqrt{\frac{45}{16}}}=\frac{\sqrt{5}}{3}\)

Dấu đẳng thức xảy ra <=>  \(\hept{\begin{cases}t=\frac{1}{4}\\x=2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

Vậy GTLN của Q là \(\frac{\sqrt{5}}{3}\)