Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Có \(\sqrt{25}=5;\sqrt{45}< \sqrt{49}=7\)
\(\Rightarrow\sqrt{25}+\sqrt{45}< 5+7=12\)
Vậy \(\sqrt{25}+\sqrt{45}< 12.\)
b) có \(\left(\sqrt{2013}+\sqrt{2015}\right)^2=2013+2015+2\sqrt{2013}.\sqrt{2015}\)\(=4028+2\sqrt{2013.2015}\)
\(\left(2\sqrt{2014}\right)^2=4.2014=4028+2.2014=4028+2\sqrt{2014^2}\)
Xét \(2014^2-2013.2015=2014.\left(2013+1\right)-2013\left(2014+1\right)\)
\(=2013.2014+2014-2013.2014-2013=1>0\)
\(\Rightarrow2\sqrt{2013.2015}< 2\sqrt{2014^2}\)
Hay \(\left(\sqrt{2013}+\sqrt{2015}\right)^2< \left(2\sqrt{2014}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{2013}+\sqrt{2015}< 2\sqrt{2014}\)
Vậy \(\sqrt{2013}+\sqrt{2015}< 2\sqrt{2014}.\)
c) Có \(\left(\sqrt{2014}-\sqrt{2013}\right)\left(\sqrt{2014}+\sqrt{2013}\right)=2014-2013=1\)\(\rightarrow\sqrt{2014}-\sqrt{2013}=\dfrac{1}{\sqrt{2014}+\sqrt{2013}}\)
Mà \(\sqrt{2014}>\sqrt{2013};\sqrt{2013}>\sqrt{2012}\)
\(\rightarrow\sqrt{2014}+\sqrt{2013}>\sqrt{2013}+\sqrt{2012}\)
Hay \(\dfrac{1}{\sqrt{2014}+\sqrt{2013}}< \dfrac{1}{\sqrt{2013}+\sqrt{2012}}\)
Tương tự, ta có \(\dfrac{1}{\sqrt{2013}+\sqrt{2012}}=\sqrt{2013}-\sqrt{2012}\)
\(\Rightarrow\sqrt{2014}-\sqrt{2013}< \sqrt{2013}-\sqrt{2012}\)
Vậy \(\sqrt{2014}-\sqrt{2013}< \sqrt{2013}-\sqrt{2012}.\)
lop8. thi ap bdt nhu thanh song,
a)
VT=√25+√45<√2(25+45)=√140<√144=12=VP
b)
VT=√2013+√2015<√[2(2013+2015)]=√[4.2014]=2√(2014)=VP.
c) C=VT-VP
√2014+√2012-2√2012
kq(b)=> C<0
VT<VP
a. Ta có \(\sqrt{2016}+\sqrt{2015}>\sqrt{2015}+\sqrt{2014}\to\frac{1}{\sqrt{2016}+\sqrt{2015}}<\frac{1}{\sqrt{2015}+\sqrt{2014}}\). Nhân liên hợp từng phân thức, ta có
\(\frac{\sqrt{2016}-\sqrt{2015}}{\left(\sqrt{2016}+\sqrt{2015}\right)\left(\sqrt{2016}-\sqrt{2015}\right)}<\frac{\sqrt{2015}-\sqrt{2014}}{\left(\sqrt{2015}+\sqrt{2014}\right)\left(\sqrt{2015}-\sqrt{2014}\right)}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2016}-\sqrt{2015}<\sqrt{2015}-\sqrt{2014}\Leftrightarrow\sqrt{2016}+\sqrt{2014}<2\sqrt{2015}.\)
b. Tiếp tục thực hiện các biến đổi liên hợp, ta có
\(\sqrt{2008}-\sqrt{2005}+\sqrt{2009}-\sqrt{2007}=\frac{3}{\sqrt{2008}+\sqrt{2005}}+\frac{2}{\sqrt{2009}+\sqrt{2007}}\)
\(>\frac{3}{\sqrt{2015}+\sqrt{2010}}+\frac{2}{\sqrt{2015}+\sqrt{2010}}=\frac{5}{\sqrt{2015}+\sqrt{2010}}=\sqrt{2015}-\sqrt{2010}\)
Suy ra \(\sqrt{2008}-\sqrt{2005}+\sqrt{2009}-\sqrt{2007}>\sqrt{2015}-\sqrt{2010}\to\)
\(\to\sqrt{2008}+\sqrt{2009}+\sqrt{2010}>\sqrt{2005}+\sqrt{2007}+\sqrt{2015}.\) (ĐPCM).
Giả sử \(\sqrt{2006}+\sqrt{2008}\ge2\sqrt{2007}\)
<=> 4014 + \(2\sqrt{2006×2008}\)\(\ge\)8028
<=> \(\sqrt{2006×2008}\)\(\ge\)2007
<=> \(\sqrt{2007^2-1}\ge2007\)(sai)
Vậy \(\sqrt{2006}+\sqrt{2008}< 2\sqrt{2007}\)
a/ giả sử \(\sqrt{7}-\sqrt{2}< 1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{7}< 1+\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow 7< 1+2\sqrt{2}+2\)
\(\Leftrightarrow4< 2\sqrt{2}\Leftrightarrow16< 8\left(sai\right)\)
vậy \(\sqrt{7}-\sqrt{2}>1\)
câu b, c bạn làm tương tụ nhé , giả sử một đẳng thức tạm, sau đó bình phương lên rồi làm theo như trên là được nha
Bài này cũng dễ
a, \(\sqrt{7}-\sqrt{2}\) lớn hơn \(1\) . Vì
\(\sqrt{7}-\sqrt{2}=1,231537749\)
\(1=1\)
b, \(\sqrt{8}+\sqrt{5}\) bé hơn \(\sqrt{7}+\sqrt{6}\) . Vì
\(\sqrt{8}+\sqrt{5}=5,064495102\)
\(\sqrt{7}+\sqrt{6}=5,095241054\)
c, \(\sqrt{2005}+\sqrt{2007}\) lớn hơn \(\sqrt{2006}\) . Vì
\(\sqrt{2005}+\sqrt{2007}=89,57677992\)
\(\sqrt{2006}=44,78839135\)
Ta có:
\(\dfrac{1}{\sqrt{a}-\sqrt[]{a+1}}=\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{a+1}}{a-a+1}=\sqrt{a}+\sqrt{a+1}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{2013}-\sqrt{2014}}-\dfrac{1}{\sqrt{2014}-\sqrt{2015}}=\sqrt{2013}+\sqrt{2014}-\sqrt{2014}-\sqrt{2015}=\sqrt{2013}-\sqrt{2015}\)
1) Ta có bđt sau : \(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}< \sqrt{\frac{a+b}{2}}\) (bạn tự c/m)
Áp dụng : \(\frac{\sqrt{2005}+\sqrt{2007}}{2}< \sqrt{\frac{2005+2007}{2}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{2005}+\sqrt{2007}< 2\sqrt{2006}\)
2) Xét : \(A-B=2\sqrt{2014}-\left(\sqrt{2013}+\sqrt{2015}\right)\)
Theo câu 1) , ta dễ dàng c/m được \(2\sqrt{2014}>\sqrt{2013}+\sqrt{2015}\)
Do đó A - B > 0 => A > B
2) Bình phương 2 vế ta có:
\(A^2=2014-2013=1\)
\(B^2=2015-2014=1\)
=>A=B