Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Tìm trước khi hỏi Câu hỏi của Phan Đình Trường - Toán lớp 8 | Học trực tuyến
điện thoại cùi nên chụp hơi mờ, đề này còn thiếu a,,bc>0
Dean thật, gõ gần xong rồi tự nhiên nó tạch, phải gõ lại -.-
Từ gt, ta suy ra:
\(a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right].\dfrac{1}{2}=0\)(Tự phân tích, không còn kiên nhẫn để gõ lại)
Mà a+b+c khác 0 => a=b=c
Thay vào thì C=8
bai 2 :
dat cac tich ab , bc , ca lan luot la x,y,z ( khac 0 )
thay vao ta dc : x^3+y^3+z^3=3xyz
=> (x+y)(x^2-2xy+y^2)+z^3-3xyz=0
=>(x+y)(x^2+2xy+y^2)+z^3-3xy(x+y)-3xyz=0
=》（x+y+z)【（x+y）^2 -(x+y)z+z^2】-3xy(x+y+z)=0
=>(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)=0
=>\(\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2\right]\)=0
=> x+y+z=0 hoac x=y=z
TH1 : a+b+c=0
=>P=-1
TH2 : a=b=c
=>P=8
Lời giải:
Ta có:
\(\text{VT}=\frac{a}{(a+1)(b+1)}+\frac{b}{(b+1)(c+1)}+\frac{c}{(c+1)(a+1)}\)
\(=\frac{a(c+1)+b(a+1)+c(b+1)}{(a+1)(b+1)(c+1)}=\frac{ab+bc+ac+a+b+c}{abc+(ab+bc+ac)+(a+b+c)+1}\)
\(=\frac{ab+bc+ac+a+b+c}{2+(a+b+c)+ab+bc+ac}\)
Ta cần chứng minh \(\text{VT}\geq \frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow \frac{ab+bc+ac+a+b+c}{2+(a+b+c)+ab+bc+ac}\geq \frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow 4(ab+bc+ac+a+b+c)\geq 3(ab+bc+ac+a+b+c)+6\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ac+a+b+c\geq 6\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ac+a+b+c\geq 6\sqrt[6]{ab.bc.ac.a.b.c}\)
(Đúng theo BĐT Cô-si)
Do đó ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)
đặt ab=x, bc=y, ac=z
suy ra \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
pt thanh nhân tử \(\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xz-xy-yz\right)=0\)
do x,y,z>0suy ra x+y+z>0
nên suy ra \(x^2+y^2+z^2-xz-yz-xy=0\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xz-2xy-2yz=0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)
suy ra x=y=z
thế vào pt ta có dpcm
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{a^4}{(a+2)(b+2)}+\frac{a+2}{27}+\frac{b+2}{27}+\frac{1}{9}\geq 4\sqrt[4]{\frac{a^4}{27.27.9}}=\frac{4a}{9}\)
\(\frac{b^4}{(b+2)(c+2)}+\frac{b+2}{27}+\frac{c+2}{27}+\frac{1}{9}\geq \frac{4b}{9}\)
\(\frac{c^4}{(c+2)(a+2)}+\frac{c+2}{27}+\frac{a+2}{27}+\frac{1}{9}\geq \frac{4c}{9}\)
Cộng theo vế và rút gọn:
\(\frac{a^4}{(a+2)(b+2)}+\frac{b^4}{(b+2)(c+2)}+\frac{c^4}{(c+2)(a+2)}+\frac{2(a+b+c)}{27}+\frac{7}{9}\geq\frac{4(a+b+c)}{9}\)
\(\frac{a^4}{(a+2)(b+2)}+\frac{b^4}{(b+2)(c+2)}+\frac{c^4}{(c+2)(a+2)}\geq \frac{10(a+b+c)}{27}-\frac{7}{9}=\frac{30}{27}-\frac{7}{9}=\frac{1}{3}\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
Ta có A=\(\dfrac{a^3\left(b-c\right)+b^3\left(c-a\right)+c^3\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=\dfrac{a^3\left(b-c\right)+b^3c-c^3b-a\left(b^3-c^3\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=\dfrac{a^2\left(b-c\right)+bc\left(b^2-c^2\right)-a\left(b-c\right)\left(b^2+bc+c^2\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)
=\(\dfrac{a^3+b^2c+c^2b-ab^2-abc-ac^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}=\dfrac{a\left(a^2-b^2\right)-c^2\left(a-b\right)-bc\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)}=\dfrac{a^2+ab-c^2-bc}{c-a}=\dfrac{\left(a-c\right)\left(a+c\right)+b\left(a-c\right)}{c-a}=-\left(a+b+c\right)\)
Sao lại bằng -(a + b + c) vậy bạn?